四平方の定理（図形の面積と正射影）

$O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$ となる座標系で考える。

$|OAB|=\dfrac{ab}{2}$，$|OBC|=\dfrac{bc}{2}$，$|OCA|=\dfrac{ca}{2}$ は簡単に求まるので，あとは $|ABC|$ を求めればよい。

そのためにまず，三角形 $ABC$ と原点の距離 $d$ を求める。

$A,B,C$ を含む平面の方程式は切片方程式の考え方により，$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ である。

よって，点と平面の距離公式より $d=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$ となる。

次に，四面体 $OABC$ の体積を二通りで表すことにより，

$$\dfrac{abc}{6}=\dfrac{1}{3}d|ABC|$$

よって，

$$|ABC|=\dfrac{abc}{2d}=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$

以上の（赤文字の）式より $$|ABC|^2=|OAB|^2+|OBC|^2+|OCA|^2$$

$P$ の長さ $1$ の法線ベクトルを $(n_x,n_y,n_z)$ とおく。

$yz$ 平面の法線ベクトルは $(1,0,0)$ なので，二つの法線ベクトルがなす角のコサインは（内積を考えることで）$n_x$ となる。

よって，$P$ と $yz$ 平面のなす角を $\theta_x$ とおくと，前提知識2より

$\cos\theta_x=n_x$ となる。

さらに，前提知識1より $S\cos\theta_x=S_x$ なので，$Sn_x=S_x$

同様に $Sn_y=S_y,Sn_z=S_z$ であるので，

$$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=S^2$$

を得る。