点と平面の距離公式と例題・2通りの証明

公式 $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ に代入するだけ。$(x_0,y_0,z_0)=(2,0,3)$ であり，平面の方程式から $a=5,b=-1,c=2,d=1$ なので，距離は

$$\dfrac{|5\times 2+(-1)\times 0+2\times 3+1|}{\sqrt{5^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{17}{\sqrt{30}}$$

点から平面におろした垂線の足 $H$ の座標を $(X,Y,Z)$ とおく。$\overrightarrow{AH}$ は $p_0$ の法線ベクトルと平行なので実数 $t$ を用いて， $$(x_0-X, y_0-Y, z_0-Z)=t(a, b, c)$$ と表せる。あとは，$H$ が $l$ 上にある条件： $aX+bY+cZ+d=0$ を用いて $t$ を求めればよい。

$-aX-bY-cZ=d$ に注意して，紫の式の両辺に対して $(a,b,c)$ との内積を取ると，

$$ax_0+by_0+cz_0+d=t(a^2+b^2+c^2)$$

となる。

$a^2+b^2+c^2\neq 0$ なので， $$t=\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$$

よって，$AH$ の長さ，すなわち $t(a,b,c)$ の長さは，

$$|t|\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

となり点と平面の距離公式が導出できた。

$a=0$ のとき，点と直線の距離公式より成立。$b=0,\:c=0$ のときも同様。以下 $a,\:b,\:c$ が全て $0$ でない場合を考える。

点 $A$ を通り $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸に平行な直線と平面 $p_0$ の交点をそれぞれ $P,Q,R$ とおく。

$PA=p,\:QA=q,\:RA=r$ とおく $PQ=\sqrt{p^2+q^2},\:QR=\sqrt{q^2+r^2},\:RP=\sqrt{r^2+p^2}$ である。

求めたい距離を $D$ とおくと，四面体 $PQRA$ の体積を二通りの方法で表すことにより，

$$\dfrac{1}{6}pqr=\dfrac{1}{3}DS$$

ただし，$S$ は三角形 $PQR$ の面積。

次に，$S$ を $p,\:q,\:r$ で表す。

ヘロンの公式の変形版（ヘロンの公式の下部参照）より，三辺の長さが $A,\:B,\:C$ である三角形の面積 $S$ は

$$16S^2=2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2)-(A^4+B^4+C^4)$$

を満たすので，これに $PQ,\:QR,\:QP$ の式を代入して整理すると，

$$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2}$$ となる。

よって， $$D=\dfrac{pqr}{\sqrt{p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2}}$$

平面の方程式を利用して $P,Q,R$ の座標を求めることにより， $$p=\dfrac{k}{a},\:q=\dfrac{k}{b},\:r=\dfrac{k}{c},\:(k=|ax_0+by_0+cz_0+d|)$$

となるので，これらを上式に代入して整理すると

$$D=\dfrac{k}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

が得られ証明完了。