点と直線の距離公式：例題と5通りの証明

直線の式 $y=-3x+4$ を左辺に移項すると，$3x+y-4=0$

よって，

• 点：$(x_0,y_0)=(-1,2)$
• 直線：$a=3,b=1,c=-4$

として距離公式を使うと，

$$\begin{aligned} \dfrac{|3\times (-1)+1\times 2-4|}{\sqrt{3^2+1^2}} &=\dfrac{|-5|}{\sqrt{10}}\\ &=\dfrac{\sqrt{10}}{2} \end{aligned}$$

直線：$ax+by+c=0$ を変形すると，

$$y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$$

となり傾きは $-\dfrac{a}{b}$ である。

よって，これに垂直な直線の傾きは $\dfrac{b}{a}$ である（垂直なら傾きの積が $-1$ なので）。

よって，垂線 $AH$ は，$(x_0,y_0)$ を通り傾き $\dfrac{b}{a}$ の直線なので，$y=\dfrac{b}{a} (x-x_0)+y_0$

次に，垂線ともとの直線の交点である $H$ の座標を求める：

$$-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{a}x-\dfrac{b}{a}x_0+y_0$$

計算していくと， $$\begin{aligned} -a^2x-ac&=b^2x-b^2x_0+aby_0\\ x&=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2} \end{aligned}$$

$y$ 座標は

$$\begin{aligned} &-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\\ &=\dfrac{-abx_0+a^2y_0+\frac{a^2c}{b}-\frac{a^2c}{b}-bc}{a^2+b^2}\\ &=\dfrac{-abx_0+a^2y_0-bc}{a^2+b^2} \end{aligned}$$

あとは，$AH=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ を計算するだけ：

$$x-x_0=\dfrac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\\ y-y_0=\dfrac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}$$

より， $$\begin{aligned} AH&=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}\\ &=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned}$$

$H$ の座標を $(X,Y)$ とする。 $\overrightarrow{AH}$ は $l$ の法線ベクトルと平行なので実数 $t$ を用いて，

$$(X-x_0, Y-y_0)=t(a, b)$$

と表せる。あとは，$H$ が $l$ 上にある条件： $aX+bY=-c$ を用いて $t$ を求めればOK。

上式の両辺に対して $(a,b)$ との内積を取ると，

$$a(X-x_0)+b(Y-y_0)=ta\times a+tb\times b$$

である。これと $aX+bY=-c$ より，

$$-c-ax_0-by_0=t(a^2+b^2)$$

となる。

$a^2+b^2\neq 0$ なので， $$t=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$$

よって，$AH$ の長さ，すなわち $t(a,b)$ の長さは，

$$\begin{aligned} d&=|t|\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned}$$

となり点と直線の距離公式が証明された。

$l$ 上の任意の点 $B$ の座標を $B (x_1 , y_1)$ とおく。$H$ の座標を $(X,Y)$ とする。

法線ベクトルを $\overrightarrow{n}$ とおく。$\overrightarrow{n} = (a,b)$ である。

$\overrightarrow{AH}$ は $\overrightarrow{AB}$ の $\overrightarrow{n}$ への正射影ベクトルであるため $$\overrightarrow{AH} = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|^2} \overrightarrow{n}$$ である。この絶対値を計算すればよい。

$$\begin{aligned} | \overrightarrow{AH} | &= \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\\ &= \dfrac{|(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\\ &= \dfrac{|ax_1 + b y_1 - ax_0 - by_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &= \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{aligned}$$ となる。なお，最後の計算では $B$ が $l$ 上にあることから $ax_1 + by_1 + c = 0$ となることを用いた。

$a=0$ のとき，直線 $l$ は $y=-\dfrac{c}{b}$ となるので求める距離は $|y_0+\dfrac{c}{b}|$ となり距離公式は正しい。 $b=0$ のときも同様。よって，以下 $a,\:b$ ともに $0$ でない場合を考える。

$l$ 上に点 $P,Q$ を「 $P$ と $A$ の $x$ 座標が等しく，$Q$ と $A$ の $y$ 座標が等しくなる」ようにとる。

$PA=p,\:QA=q$ とおくと，$PQ=\sqrt{p^2+q^2}$ である。

三角形の面積を二通りの方法で表すことにより，

$$\dfrac{1}{2}pq=\dfrac{1}{2}d\sqrt{p^2+q^2}$$

つまり，$d=\dfrac{pq}{\sqrt{p^2+q^2}}$ を得る。

直線の方程式を利用して $P$ の $y$ 座標を求めることにより， $$p=\left|\dfrac{-c-ax_0}{b}-y_0\right|=\dfrac{1}{|b|}|ax_0+by_0+c|$$

同様に，

$$q=\left|\dfrac{-c-by_0}{a}-x_0\right|=\dfrac{1}{|a|}|ax_0+by_0+c|$$

となるので，これらを上式に代入して整理すると

$$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

が得られ，点と直線の距離公式が証明された。

$l$ を固定したとき，$A$ の場所によって $d$ が決まるので，$d$ は $x_0$ と $y_0$ の関数とみなせる。

まず $ax+by+c\geq 0$ の領域に $A$ がある場合を考える。

$A$ を $x$ 軸方向に変化させたときの $d$ の変化量は $x_0$ の変化量に比例するので $d$ は $x_0$ の一次関数。同様に $y_0$ の一次関数でもある。

よって，$d=\alpha x_0+\beta y_0+\gamma$ と書ける。

$x_0$ を $\sqrt{a^2+b^2}$ ずらすと $d$ は $a$ ずれるので，

$$\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

同様に，

$$\beta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

また「$ax_0+by_0+c=0$ のとき $d=0$」という状況を，

$$\begin{aligned} d&=\alpha x_0+\beta y_0+\gamma\\ &=\dfrac{ax_0+by_0}{\sqrt{a^2+b^2}}+\gamma \end{aligned}$$

に代入すると，

$$\gamma=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

よって， $$d=\dfrac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

また，$ax+by+c\leq 0$ の領域に $A$ がある場合も同様に，

$$d=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

となるので点と直線の距離公式が証明された。