正射影ベクトルの公式の証明と使い方

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とおく。 以下では $\pm$ という符号が登場するが，$0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}$ のときはプラスの符号，$\dfrac{\pi}{2} <\theta$ のときはマイナスの符号で考えるものとする。

求める正射影ベクトルを $\overrightarrow{v}$ とおく。 $\overrightarrow{v}$ は $\overrightarrow{a}$ と平行なので，実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{a}$ と書ける。よって，$|\overrightarrow{v}|=\pm k|\overrightarrow{a}|$

一方内積について考えると，$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=\pm|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|$$ よって，$|\overrightarrow{v}|=\pm\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$

以上二つの式より $k=\pm\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2}$ となり正射影ベクトルの公式を得る。

正射影ベクトルの公式より，$\overrightarrow{OP}=\dfrac{7}{3^2}\overrightarrow{OA}$