マクローリン展開にまつわる指数関数の不等式

• 下に行くほど複雑ですが，強い不等式です。

• 「指数関数 $e^x$ が多項式よりも大きい」ことを表す不等式です。

• 特に，(ii)は有名な重要公式なので，覚えておくとよいでしょう。

• いずれも「指数関数のマクローリン展開」と関係がある不等式です。詳細は後述します。

4つの不等式は「指数関数のマクローリン展開」と関係しています。

指数関数のマクローリン展開を考えると，

$e^x={\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{x^k}{k!}\\ =1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dots$

という等式が成立します。

（詳細は，マクローリン展開に記載しています。）

4つの不等式の右辺は，マクローリン展開を途中で打ち切った形になっています。

実際，$x>0$ のとき，マクローリン展開の各項は正なので，途中で打ち切ったほうが確かに小さくなることがわかります。

4つの不等式は，（左辺）ー（右辺）を何回も微分することで証明できます。例として，(iii)を証明してみます。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT10も参照してください。

微分法を用いて不等式を証明するときに，そのまま（左辺）ー（右辺）を何回も微分しても，導関数がどんどん複雑になってしまう場合が多いです。そのため何かしらの工夫をしなければならず，そこが不等式証明の難しいところです。

しかし，マクローリン展開を途中で打ち切ったタイプの不等式の場合は，愚直に（左辺）ー（右辺）を何回も微分していけば簡単な関数形になり，必ず証明は成功します。

マクローリン型の不等式を証明せよという問題を見たら，何も考えずにそのまま両辺の差をひたすら微分していけばよいのです。 マクローリン型不等式（三角関数）も全く同様に証明できます。比較してみてください。

これは対数関数 $\log(1+x)$ のマクローリン展開を途中で打ち切った式です。同様に，両辺の差を微分することで証明できます。

この不等式が活躍する問題の例を紹介します。yama先生に教えていただきました。

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