座標,ベクトル
正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算
- 緑: 平面上の長方形の4頂点
- 青: 平面上の長方形の4頂点 ,
- 赤: 平面上の長方形の4頂点 ,
合計12頂点は1辺の長さが2の正二十面体の頂点となっている。
ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ
内積:2本のベクトルに対してスカラーを対応させる演算
外積:2本のベクトルに対してベクトルを対応させる演算
内積と外積を比較しながら意味を探ることで,高校の教科書では扱わない外積についての理解を深めます。後半は難しいですがかなり面白いと思うのでじっくり読んでみてください!
一次変換の意味と重要な5つの例(折り返し・回転・対称移動)
一次変換とは,行列 のかけ算による変換です。行列 に対応する一次変換は, を に写します。
極線の方程式の証明と応用
円 とその外側の点 から引いた二本の接線の交点をそれぞれ とおくと,直線 の方程式は
直線 のことを極線と呼びます。(イントネーションは「曲線」とは異なります)
法線ベクトルの3通りの求め方と応用
2次元平面において,法線とは,接線に垂直な直線のことです。法線の方程式や,法線方向のベクトル(法線ベクトル)を計算する方法を解説します。
フォイエルバッハの定理と計算による証明
フォイエルバッハの定理(Feuerbach):三角形 において
内接円と九点円は内接する。
傍接円と九点円は外接する。
束の考え方と例題(直線,円,一般論)
束の考え方:
と は実数で少なくとも一つは でないとする。
が表す図形は,
が表す図形と が表す図形の交点(が存在すれば)を全て通る。
高校数学で頻出の束の考え方について解説します。例として直線束,円束を扱います。「そく」と読みます。
回転放物面の方程式と東大の問題
放物線をその軸に関して回転させたときにできる図形を回転放物面と言う。
座標空間において,放物線 を 軸のまわりに回転させたときにできる図形の方程式は である。
回転放物面に関する基本的な知識および関連する東大の入試問題を解説します。
四元数と三次元空間における回転
三次元空間における回転の記述を理解することを目標に,ハミルトンの四元数(クォータニオン,quaternion)について一から解説します。
三次元空間における直線の方程式
三次元空間における直線の基本形:
点 を通り,方向ベクトルが であるような直線の方程式は,媒介変数 を用いて と表される。
は直線上の点を表します。
二直線のなす角を求める2通りの方法と比較
二直線のなす角は法線ベクトルと内積()を用いても求めることができる,傾きと加法定理()を用いても求めることができる。
直交座標と極座標(2次元)の変換とメリットの比較
極座標とは,原点からの距離 と「角度」 という2つの数字を使って平面上の点の位置を表すような方法です。
垂直な直線の方程式の求め方と応用【垂直条件】
- 垂直条件1(傾きの積が−1)
- 垂直条件2(一般形)
- 通る一点が指定されるときについて
- 応用例:楕円の法線の方程式の導出
の順に解説します!
反転にまつわる軌跡の有名問題
受験生なら一度はやっておきたい軌跡の有名問題を解説します。実は,反転という幾何学の手法を背景とする問題です。
軌跡の問題を通じて→反転幾何の基礎で解説した性質1−1から1−4を証明します。
ベクトルという言葉の意味
ベクトルとは,
1.(主に高校数学で)向きと大きさを持った量,実数二つ組または三つ組
2.(主に大学数学で)ベクトル空間の元
3.(主に日常会話で)方向性
状況,文脈によって意味が変わります。
四点が同一平面上にあるための二つの条件
四点が同一平面上にある条件1(ベクトル)
三次元空間内の四点 が同一平面上にある
三点 が同一直線上にある,または
を満たす実数 が存在する。
四点が同一平面上にあるための条件二つ(ベクトルの条件,行列式の条件)と例題を解説します。
ベクトル方程式の公式一覧
ベクトル方程式の公式をまとめました。全て丸暗記する必要はありませんが,◯◯のベクトル方程式は?と聞かれたときにすぐに立式できるようになっておきましょう。
平面,空間上の2点間の距離について
平面内の2点 の間の距離 は で与えられる。
また,空間内の2点 の間の距離 は で与えられる。
平面あるいは空間内にある2点間の距離を,点の座標によって表す数式です。
三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式
としたとき,三角形 の面積 は以下のように表せる。
ベクトルや座標平面上に表された三角形の面積を表す公式について,証明とその利用例を解説します。
ベクトル空間と次元
足し算とスカラー倍ができるような代数系をベクトル空間(線型空間)という。
高校までの「ベクトル」の概念を一般化した代数的構造がベクトル空間(線型空間)です。これにより,数列や関数なども「ベクトル」だと考えられるようになります。
線分の長さの求め方(2点間・放物線・二等辺三角形・弦)
点 と点 を考えます。この2点を通るまっすぐな線の中で,
- どちらの方向にも無限に伸びているものを直線といいます。
- 片方が端になっておりもう片方が無限に伸びているものを半直線といいます。半直線 は が端です。
- 両端で止まっているものを線分といいます。
この記事では座標平面上で線分の長さを求める問題の解き方を解説します。
簡単なパターンからはじめて,放物線や円に切り取られた線分の長さの計算もします。
ベクトルの内積の性質と公式
2つのベクトル に対して, のことを内積と呼び, と書く。
高校数学で習う2つのベクトルの内積について,定義・性質・関連する公式を整理しました。
ロドリゲスの回転公式(3次元の回転行列)
三次元空間において, を軸として, を 回転させた点 は,
三次元空間での回転に関するロドリゲスの回転公式を紹介します。
まずはベクトル版を紹介し,後半では行列版(三次元空間における回転行列)を紹介します。