座標，ベクトル

三角形 $ABC$ 内に点 $X$ があり，$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$

が成立するとき，面積比は

△ $XAB$：△ $XBC$：△ $XCA＝r:p:q$

オイラー線：

任意の三角形において，外心を $O$，重心を $G$，垂心を $H$ とおくとき，

$O, G, H$ は一直線上にあり，$OG:GH=1:2$

平面における直線の方程式は

1：$y=mx+n$

が基本だが，

2：$ax+by+c=0$

も覚えておくと嬉しいことが3つある。

二点 $(a,0),(0,b)$ を通る直線の方程式は，

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

三点 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ を通る平面の方程式は，

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

内積：2本のベクトルに対してスカラーを対応させる演算

外積：2本のベクトルに対してベクトルを対応させる演算

$xy$ 座標平面における直線は $ax+by+c=0$ という形で表すことができる。同様に，$xyz$ 座標空間上の平面の方程式は $ax+by+cz+d=0$ という形で表すことができる。

点 $X$ の重心座標が $[p,q,r]$ である

⇔点 $X$ は $\overrightarrow{x}=\dfrac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r}$ を満たす点である

円 $x^2+y^2=r^2$ とその外側の点 $A(x_1,y_1)$ から引いた二本の接線の交点をそれぞれ $P,Q$ とおくと，直線 $PQ$ の方程式は $x_1x+y_1y=r^2$

三角形 $ABC$ とその重心 $G$ ，および任意の点 $X$ に対して

$AG^2+BG^2+CG^2\leq AX^2+BX^2+CX^2$

が成立する。

点 $A(x_0,y_0)$ と直線 $l:ax+by+c=0$ の距離 $d$ は，

$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

平面 $p_0:ax+by+cz+d=0$ と点 $A:(x_0,\:y_0,\:z_0)$ との距離 $D$ は，

$D=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

公式1：座標平面上の異なる二点 $(x_1,y_1)$ ，$(x_2,y_2)$ を通る直線の方程式は，基本的に

$y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

で覚えておけばよいが，場面によっては他の表現を用いるべき。

正射影ベクトルの公式：ベクトル $\overrightarrow{b}$ を $\overrightarrow{a}$ が定める直線に正射影したベクトルは，$\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2}\overrightarrow{a}$

フォイエルバッハの定理（Feuerbach）：三角形 $ABC$ において

内接円と九点円は内接する。

傍接円と九点円は外接する。

束の考え方：

$s$ と $t$ は実数で少なくとも一つは $0$ でないとする。

$sf(x,y)+tg(x,y)=0$ が表す図形は，

$f(x,y)=0$ が表す図形と $g(x,y)=0$ が表す図形の交点（が存在すれば）を全て通る。

放物線をその軸に関して回転させたときにできる図形を回転放物面と言う。

$xyz$ 座標空間において，放物線 $z=ax^2+b$ を $z$ 軸のまわりに回転させたときにできる図形の方程式は $z=a(x^2+y^2)+b$ である。

三次元空間における直線の基本形：

点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り，方向ベクトルが $\overrightarrow{d}$ であるような直線の方程式は，媒介変数 $t$ を用いて $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$ と表される。

二直線のなす角は法線ベクトルと内積（$\cos$）を用いても求めることができる，傾きと加法定理（$\tan$）を用いても求めることができる。

極座標とは，原点からの距離 $r$ と「角度」 $\theta$ という2つの数字を使って平面上の点の位置を表すような方法です。

ベクトルの内積を用いて余弦定理を証明できるが，循環論法にならないように気をつける必要がある。

座標平面上の二点 $A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$ の間の距離を

$d(A,B)=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|$

で測ったものを $L^1$ 距離（マンハッタン距離）と言う。

座標平面において，円： $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線の方程式は， $x_0x+y_0y=r^2$

長さが1のベクトルを単位ベクトルと言う。

ベクトル $\overrightarrow{a}$ と同じ向きの単位ベクトルは $\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ で求まる。

ベクトルとは，

1．（主に高校数学で）向きと大きさを持った量，実数二つ組または三つ組

2．（主に大学数学で）ベクトル空間の元

3．（主に日常会話で）方向性

四点が同一平面上にある条件1（ベクトル）

三次元空間内の四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある

$\iff$

三点 $A,B,C$ が同一直線上にある，または

$\overrightarrow{AD}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$ を満たす実数 $p,q$ が存在する。

2つの平面 $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ ，$a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ のなす角を $\theta$ とすると，

$\cos\theta=\dfrac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$

3つの空間ベクトル $a,b,c$ に対して

$a\cdot (b\times c)$ をスカラー三重積，

$a\times (b\times c)$ をベクトル三重積と言う。

平面内の２点 $A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y)$ の間の距離 $d$ は $$d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2}$$ で与えられる。

また，空間内の２点 $A = (a_x, a_y, a_z), B = (b_x, b_y, b_z)$ の間の距離 $d$ は $$d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2}$$ で与えられる。

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2 \end{array} \right), ~ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2 \end{array} \right)$ としたとき，三角形 $OAB$ の面積 $S$ は以下のように表せる。

$$S = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{a}\|^2\|\overrightarrow{b}\|^2 - \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right)^2}\tag{1}$$ $$S = \dfrac{1}{2}| a_1b_2 - a_2b_1| \tag{2}$$

足し算とスカラー倍ができるような代数系をベクトル空間（線型空間）という。