1. 高校数学の美しい物語
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座標,ベクトル

    更新日時 2021/03/11

    サラスの公式と使い方

    座標平面上の三角形の面積及び座標空間上の四面体の体積を高速に求めるための公式を紹介します。

    サラスの公式のとその応用例と証明。

    → サラスの公式と使い方

    ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式

    ベクトルと面積比

    三角形 ABCABC 内に点 XX があり,pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}

    が成立するとき,面積比は

    XABXAB:△ XBCXBC:△ XCAr:p:qXCA=r:p:q

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    オイラー線の3通りの証明

    オイラー線

    オイラー線:

    任意の三角形において,外心を OO,重心を GG,垂心を HH とおくとき,

    O,G,HO, G, H は一直線上にあり,OG:GH=1:2OG:GH=1:2

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    正二十面体の対角線・体積を座標でエレガントに導出

    正二十面体の座標空間表示

    正二十面体の座標表示

    • 緑:xyxy 平面上の長方形の4頂点 (±1,±ϕ,0)(\pm 1,\pm\phi,0)
    • 青:yzyz 平面上の長方形の4頂点 (0,±1,±ϕ)(0,\pm 1,\pm \phi)
    • 赤:zxzx 平面上の長方形の4頂点 (±ϕ,0,±1)(\pm\phi,0,\pm 1)

    合計12頂点は1辺の長さが2の正二十面体の頂点となっている。

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    切片方程式とその証明に関すること

    二点 (a,0),(0,b)(a,0),(0,b) を通る直線の方程式は,

    xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1

    三点 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) を通る平面の方程式は,

    xa+yb+zc=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1

    ただし,a,b,ca,b,c00 でない任意の実数です。

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    内積と外積の意味と嬉しさ

    内積:2本のベクトルに対してスカラーを対応させる演算

    外積:2本のベクトルに対してベクトルを対応させる演算

    内積と外積を比較しながら意味を探ることで,高校の教科書では扱わない外積についての理解を深めます。後半は難しいですがかなり面白いと思うのでじっくり読んでみてください!

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    平面の方程式とその3通りの求め方

    xyxy 座標平面における直線は ax+by+c=0ax+by+c=0 という形で表すことができる。同様に,xyzxyz 座標空間上の平面の方程式は ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 という形で表すことができる。

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    重要な一次変換を表す5つの行列

    一次変換とは,行列 AA のかけ算による変換です。行列 AA に対応する一次変換は,(xy)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}A(xy)A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} に写します。

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    三角形の重心座標とその応用

    XX の重心座標が [p,q,r][p,q,r] である

    ⇔点 XXxundefined=paundefined+qbundefined+rcundefinedp+q+r\overrightarrow{x}=\dfrac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r} を満たす点である

    重心座標は三角形 ABCABC に対して点 XX がどのあたりにいるのかを表す便利な座標系です!

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    極線の方程式の証明と応用

    極線の方程式

    x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 とその外側の点 A(x1,y1)A(x_1,y_1) から引いた二本の接線の交点をそれぞれ P,QP,Q とおくと,直線 PQPQ の方程式は x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2

    直線 PQPQ のことを極線と呼びます。(イントネーションは「曲線」とは異なります)

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    三角形における距離の二乗の和の公式

    三角形 ABCABC とその重心 GG ,および任意の点 XX に対して

    AG2+BG2+CG2AX2+BX2+CX2AG^2+BG^2+CG^2\leq AX^2+BX^2+CX^2

    が成立する。

    三頂点からの距離の和を最小化する点はフェルマー点でしたが,二乗和を最小化する点は重心です。

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    法線ベクトルの求め方と応用

    2次元平面において,法線とは,接線に垂直な直線のことです。法線の方程式や,法線方向のベクトル(法線ベクトル)を計算する方法を解説します。

    → 法線ベクトルの求め方と応用

    点と直線の距離公式の3通りの証明

    A(x0,y0)A(x_0,y_0) と直線 l:ax+by+c=0l:ax+by+c=0 の距離 dd は,

    d=ax0+by0+ca2+b2d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

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    点と平面の距離公式とその証明

    平面 p0:ax+by+cz+d=0p_0:ax+by+cz+d=0 と点 A:(x0,y0,z0)A:(x_0,\:y_0,\:z_0) との距離 DD は,

    D=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2D=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

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    二点を通る直線の方程式の3タイプ

    公式1:座標平面上の異なる二点 (x1,y1)(x_1,y_1)(x2,y2)(x_2,y_2) を通る直線の方程式は,基本的に

    yy1=y2y1x2x1(xx1)y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)

    で覚えておけばよいが,場面によっては他の表現を用いるべき。

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    正射影ベクトルの公式の証明と使い方

    正射影ベクトルの公式:ベクトル bundefined\overrightarrow{b}aundefined\overrightarrow{a} が定める直線に正射影したベクトルは,aundefinedbundefinedaundefined2aundefined\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2}\overrightarrow{a}

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    束の考え方と例題(直線,円,一般論)

    束の考え方:

    sstt は実数で少なくとも一つは 00 でないとする。

    sf(x,y)+tg(x,y)=0sf(x,y)+tg(x,y)=0 が表す図形は,

    f(x,y)=0f(x,y)=0 が表す図形と g(x,y)=0g(x,y)=0 が表す図形の交点(が存在すれば)を全て通る。

    高校数学で頻出の束の考え方について解説します。例として直線束,円束を扱います。「そく」と読みます。

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    回転放物面の方程式と東大の問題

    放物線をその軸に関して回転させたときにできる図形を回転放物面と言う。

    xyzxyz 座標空間において,放物線 z=ax2+bz=ax^2+bzz 軸のまわりに回転させたときにできる図形の方程式は z=a(x2+y2)+bz=a(x^2+y^2)+b である。

    回転放物面に関する基本的な知識および関連する東大の入試問題を解説します。

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    四元数と三次元空間における回転

    三次元空間における回転の記述を理解することを目標に,ハミルトンの四元数(クォータニオン,quaternion)について一から解説します。

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    三次元空間における直線の方程式

    三次元空間における直線の基本形:

    A(aundefined)A(\overrightarrow{a}) を通り,方向ベクトルが dundefined\overrightarrow{d} であるような直線の方程式は,媒介変数 tt を用いて pundefined=aundefined+tdundefined\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d} と表される。

    P(pundefined)P(\overrightarrow{p}) は直線上の点を表します。

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    二直線のなす角を求める2通りの方法と比較

    二直線のなす角は法線ベクトルと内積(cos\cos)を用いても求めることができる,傾きと加法定理(tan\tan)を用いても求めることができる。

    → 二直線のなす角を求める2通りの方法と比較

    L1距離(マンハッタン距離)の意味と性質

    座標平面上の二点 A(a1,a2),B(b1,b2)A(a_1,a_2),B(b_1,b_2) の間の距離を

    d(A,B)=a1b1+a2b2d(A,B)=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|

    で測ったものを L1L^1 距離(マンハッタン距離)と言う。

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    円の接線の方程式を求める公式の3通りの証明

    座標平面において,円: x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 上の点 (x0,y0)(x_0,y_0) における接線の方程式は, x0x+y0y=r2x_0x+y_0y=r^2

    非常に有名でなかなかきれいな公式です。

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    垂直な直線の方程式の求め方と応用

    • 垂直条件1(傾きの積が−1)
    • 垂直条件2(一般形)
    • 通る一点が指定されるときについて
    • 応用例:楕円の法線の方程式の導出

    の順に解説します!

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    反転にまつわる軌跡の有名問題

    受験生なら一度はやっておきたい軌跡の有名問題を解説します。実は,反転という幾何学の手法を背景とする問題です。

    軌跡の問題を通じて→反転幾何の基礎で解説した性質1−1から1−4を証明します。

    → 反転にまつわる軌跡の有名問題

    単位ベクトルの求め方といろんな具体例

    長さが1のベクトルを単位ベクトルと言う。

    ベクトル aundefined\overrightarrow{a} と同じ向きの単位ベクトルは aundefinedaundefined\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} で求まる。

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    ベクトルという言葉の意味

    ベクトルとは,

    1.(主に高校数学で)向きと大きさを持った量,実数二つ組または三つ組

    2.(主に大学数学で)ベクトル空間の元

    3.(主に日常会話で)方向性

    状況,文脈によって意味が変わります。

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    四点が同一平面上にあるための二つの条件

    四点が同一平面上にある条件1(ベクトル)

    三次元空間内の四点 A,B,C,DA,B,C,D が同一平面上にある

        \iff

    三点 A,B,CA,B,C が同一直線上にある,または

    ADundefined=pABundefined+qACundefined\overrightarrow{AD}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC} を満たす実数 p,qp,q が存在する。

    四点が同一平面上にあるための条件二つ(ベクトルの条件,行列式の条件)と例題を解説します。

    → 四点が同一平面上にあるための二つの条件

    2平面のなす角の定義と求め方

    2つの平面 a1x+b1y+c1z+d1=0a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0a2x+b2y+c2z+d2=0a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 のなす角を θ\theta とすると,

    cosθ=a1a2+b1b2+c1c2a12+b12+c12a22+b22+c22\cos\theta=\dfrac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}

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    ベクトル方程式の公式一覧

    ベクトル方程式の公式をまとめました。全て丸暗記する必要はありませんが,◯◯のベクトル方程式は?と聞かれたときにすぐに立式できるようになっておきましょう。

    → ベクトル方程式の公式一覧

    スカラー三重積とベクトル三重積

    3つの空間ベクトル a,b,ca,b,c に対して

    a(b×c)a\cdot (b\times c) をスカラー三重積,

    a×(b×c)a\times (b\times c) をベクトル三重積と言う。

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    接平面の方程式の求め方

    公式1

    曲面 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) における接平面の方程式は,

    A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

    ただし,A=fx(x0,y0,z0)A=f_x(x_0,y_0,z_0)B=fy(x0,y0,z0)B=f_y(x_0,y_0,z_0)C=fz(x0,y0,z0)C=f_z(x_0,y_0,z_0)

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    平面,空間上の2点間の距離について

    平面内の2点 A=(ax,ay),B=(bx,by)A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2} で与えられる。

    また,空間内の2点 A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)A = (a_x, a_y, a_z), B = (b_x, b_y, b_z) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2+(azbz)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2} で与えられる。

    平面あるいは空間内にある2点間の距離を,点の座標によって表す数式です。

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    三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式

    OAundefined=aundefined=(a1a2), OBundefined=bundefined=(b1b2)\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2 \end{array} \right), ~ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2 \end{array} \right) としたとき,三角形 OABOAB の面積 SS は以下のように表せる。

    S=12aundefined2bundefined2(aundefinedbundefined)2(1)S = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{a}\|^2\|\overrightarrow{b}\|^2 - \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right)^2}\tag{1} S=12a1b2a2b1(2)S = \dfrac{1}{2}| a_1b_2 - a_2b_1| \tag{2}

    三角形OAB

    ベクトルや座標平面上に表された三角形の面積を表す公式について,証明とその利用例を解説します。

    → 三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式

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