座標，ベクトル

点 $(x_0,y_0)$と直線 $ax+by+c=0$ の距離は，

$$\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

座標平面上の異なる二点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ を通る直線の方程式は次の三種類ある。

1. $y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

2. $(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$

3. $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} x_2 - x_1\\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}$

二直線：$y=m_1x+n_1$ と $y=m_2x+n_2$ が直交する $\iff m_1m_2=-1$

単位ベクトルとは，長さ（大きさ）が1のベクトルのことです。

$A(x_A,y_A)$，$B(x_B,y_B)$ のとき

• 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は $$\left(\dfrac{nx_A+mx_B}{m+n},\dfrac{ny_A+my_B}{m+n}\right)$$

• 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標は $$\left(\dfrac{-nx_A+mx_B}{m-n},\dfrac{-ny_A+my_B}{m-n}\right)$$

• 2次元の場合

$$d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2}$$

• 3次元の場合

$$d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2}$$

座標平面上に2点 $\mathrm{A} (-1,1)$，$\mathrm{B} (3,3)$ がある。

線分 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

原点を $O$ として，2点 $A(\overrightarrow{a})$，$B(\overrightarrow{b})$ を結ぶベクトル $\overrightarrow{AB}$ を位置ベクトルを用いて表すと， $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$$

2つのベクトル $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ に対して，$|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta$ のことを内積と呼び，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ と書く。

3×3の行列の行列式は

「左上から右下にかけて足す」マイナス「右上から左下にかけて足す」

という方法で計算できる。

$s$ と $t$ は実数で少なくとも一つは $0$ でないとする。

$sf(x,y)+tg(x,y)=0$ が表す図形は，
$f(x,y)=0$ が表す図形と $g(x,y)=0$ が表す図形の交点（が存在すれば）を全て通る。

中心が $(a,b,c)$ で半径が $r$ の球面の方程式は，

$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$

座標平面において，円： $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線の方程式は，

$x_0x+y_0y=r^2$

三次元空間内の四点 $A,B,C,D$ が同一平面上にある

$\iff$

三点 $A,B,C$ が同一直線上にある，または

$\overrightarrow{AD}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$ を満たす実数 $p,q$ が存在する。

$a,b$ は正の実数とする。$xy$ 平面上に曲線 $C_1: y=(x-a)^2$，$C_2: y = b-x^2$ がある。点 $P$ を $(a,0)$ とする。

以下の問いに答えよ。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2つの交点を持つ条件を $a,b$ の不等式により表せ。

(2) 以下 $a,b$ は(1)で求めた条件を満たすものとする。$P_1,P_2$ を $C_1$ と $C_2$　の交点とする。ただし $P_1$ を $x$ 座標の小さいほうとする。今，$b$ を固定したとき $\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ となるような $a$ が存在する。$b$ の値の範囲を求めよ。

(3) 今，$\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ を満たしているとする。$P,P_1,P_2$ を通る円を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸の交点の座標を $b$ を用いて求めよ。

(4) 円 $C$ の中心を $Q$ とおく。$\triangle OP_2Q$ が正三角形であるとする。このとき $b$ の値を求めよ。

空間内の2直線 $l,m$ はねじれの位置にあるとする。$l$ と $m$ に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。

ベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ に対して，$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$ を内積と言う。ただし，$\theta$ は $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ がなす角。

一次変換とは，行列 $A$ のかけ算による変換です。行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ に対応する一次変換は，$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ を $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$ に写します。

円 $x^2+y^2=r^2$ に対して，外側の点 $A(x_1,y_1)$ から引いた2本の接線の接点を $P,Q$ とおく。

• 直線 $PQ$ を（極 $A$ に対する）極線と呼ぶ。
• 極線の方程式は $x_1x+y_1y=r^2$

$xyz$ 座標平面上で $ax+by+cz+d=0$ という式は平面を表す。この平面と点 $(x_0,y_0,z_0)$ の距離は，$$\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

ベクトル $\overrightarrow{b}$ を $\overrightarrow{a}$ が定める直線に正射影したベクトルは，$\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2}\overrightarrow{a}$

座標平面上の2点 $A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$ の間の距離を $$d(A,B)=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|$$ で測ったものを $L^1$ 距離（マンハッタン距離）と言う。

頂点がすべて格子点上にある多角形の面積は

内側の格子点数+辺上の格子点数$÷2-1$

任意の三角形において，外心を $O$，重心を $G$，垂心を $H$ とおくとき， $O, G, H$ は一直線上にあり，$OG:GH=1:2$

1辺の長さが1の正二十面体について，

1. 表面積は $5\sqrt{3}$
2. 最長の対角線の長さ（直径）は $\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$，外接球の半径は $\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
3. 体積は $\dfrac{15+5\sqrt{5}}{12}$
4. 内接球の半径は $\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}$

点 $X$ が $\overrightarrow{x}=\dfrac{p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}}{p+q+r}$ を満たすとき，$X$ の重心座標を，$[p,q,r]$ とする。

任意の三角形において

• 内接円と九点円は内接する。
• 傍接円と九点円は外接する。

三次元空間において，$\overrightarrow{n}$ を軸として，$\overrightarrow{r}$ を $\theta$ 回転させた点 $\overrightarrow{r'}$ は，

$\overrightarrow{r'}=(\cos\theta)\overrightarrow{r}+(1-\cos\theta)(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}+(\sin\theta)(\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{r})$

$$\begin{aligned}X&=ax-by+c\\ Y&=bx+ay+d\end{aligned}$$

という式で $(x,y)$ を $(X,Y)$ にうつすような変換をヘルマート変換と言う。

1. 数学的に美しい

2. 三次元空間中での回転を簡単に記述できる

3つの空間ベクトル $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ に対して

$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})$ をスカラー三重積と言う。

曲面 $f(x,y,z)=0$ の $(x_0,y_0,z_0)$ における接平面の方程式は，

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

ただし，$A=f_x(x_0,y_0,z_0)$，$B=f_y(x_0,y_0,z_0)$，$C=f_z(x_0,y_0,z_0)$

閉曲面 $S$ を貫く水の総量は，その内部 $V$ から湧き出したり，吸い込まれたりする量に等しい。

(単純)閉曲線 $C$ と，$C$ で囲まれた領域 $D$ を考える。$D$ 上で $C^1$ 級の任意の関数 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ に対して以下が成り立つ。

$$\oint_{C} (P(x,y) \; dx + Q(x,y) \; dy) = \iint_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dxdy$$