オイラー線の３通りの証明

辺 $BC$ の中点を $M$ とおくと，$AH$ も $OM$ も $BC$ と垂直なので，$AH\:/ \! /\:OM$

また，$AH=2OM$（→補足）

よって，$AM$ と $OH$ の交点を $G$ とおくと，三角形 $AHG$ と $MOG$ は相似で相似比は $2:1$。よって $HG:GO=2:1$ であり，$G$ は線分 $AM$ を $2:1$ に内分するので重心であることが分かる。

$3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{0}$ を示せばよい。

まず，$(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH})\cdot \overrightarrow{AB}=0$ を示す。

$$\begin{aligned} &(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH})\cdot \overrightarrow{AB}\\ &=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{HC})\cdot(\overrightarrow{AB})\\ &=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ &=|\overrightarrow{OB}|^2-|\overrightarrow{OA}|^2\\ &=0 \end{aligned}$$

ここで，2行目から3行目への変形は垂心の定義から $AB\perp HC$ であることを用いた。

よって，$(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH})$ は $\overrightarrow{AB}$ と直交する。

ところが，全く同様にして $(3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH})$ は $\overrightarrow{BC}$ とも直交することが示せる。このようなベクトルは $0$ ベクトルしか存在しないので，$3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{0}$ が示された。

$$\begin{aligned} &\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{2GO}\\ &= \left[\dfrac{\tan A}{\tan A+\tan B+\tan C}-\dfrac{1}{3} \right. \\ & \quad \quad \left. + 2\left(\dfrac{\sin 2A}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}-\dfrac{1}{3}\right)\right] \overrightarrow{a} \end{aligned}$$

$+\overrightarrow{b}$ の項 $+\overrightarrow{c}$ の項

対称性より，$\overrightarrow{a}$ の係数が $0$ であることを示せば十分。

分母が和の形をしていて計算しにくいので，積に直す：

• $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
• $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$

1つめは，タンジェントの美しい関係式そのもの。2つめは，三角形の内角における和積公式の手法を用いて簡単に導ける。

以上から，$\overrightarrow{a}$ の係数は，

$$\begin{aligned} &\dfrac{1}{\tan B\tan C}+\dfrac{4\sin A\cos A}{4\sin A\sin B\sin C}-1\\ &=\dfrac{\cos B\cos C+\cos A}{\sin B\sin C}-1\\ &=\dfrac{\cos B\cos C-\cos (B+C)-\sin B\sin C}{\sin B\sin C}\\ &=0 \end{aligned}$$