タンジェントの美しい関係式(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)

(i)

$\tan A\\ =-\tan(\pi-A)\\ =-\tan(B+C)\\ =-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C}$

分母を払って整理すると目標の式になる。

(ii)

$\tan \alpha\\ =\dfrac{1}{\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{\tan (\beta+\gamma)}\\ =\dfrac{1-\tan \beta \tan \gamma}{\tan \beta +\tan \gamma}$

分母を払って整理すると目標の式になる。

図のように三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，$I$ から各辺へ下ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q,R$ とおく。

同じ点から引いた2本の接線の長さは等しいので,

$AR=c-BR\\ =c-BP\\ =c-(a-CP)\\ =c-a＋CQ\\ =c-a＋b-AQ\\ =c-a＋b-AR$

この式を $AR$ について解くと

$AR=s-a$

（この手法はよく用いられるので，この結果も覚えておくとよい）よって $\tan \alpha =\dfrac{r}{s-a}$

同様に $\tan \beta =\dfrac{r}{s-b}$ ，$\tan \gamma =\dfrac{r}{s-c}$

ここで，$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ より公式(ii)が使えて,

$\dfrac{s-a}{r}+\dfrac{s-b}{r}+\dfrac{s-c}{r}=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$

この式を変形していくと,

$r^2(3s-a-b-c)=(s-a)(s-b)(s-c)\\ (rs)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$

ここで,三角形の面積と内接円の半径の関係式を用いて,

$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)=rs$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

となりヘロンの公式を得る。