タンジェントの美しい関係式(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)

(i)

$\tan A\\ =-\tan(\pi-A)\\ =-\tan(B+C) \\ =-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C}$

分母を払って整理すると目標の式になる。

(ii)

$\tan \alpha\\ =\dfrac{1}{\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{\tan (\beta+\gamma)}\\ =\dfrac{1-\tan \beta \tan \gamma}{\tan \beta +\tan \gamma}$

分母を払って整理すると目標の式になる。

$e^{iA}e^{iB}e^{iC}=e^{i(A+B+C)}=-1$

となり実数である。一方，

$e^{iA}e^{iB}e^{iC}\\ =(\cos A+i\sin A)(\cos B+i\sin B)(\cos C+i\sin C)$

の虚部は，

$i(\sin A\cos B\cos C+\cos A\sin B\cos C+\cos A\cos B\sin C-\sin A\sin B\sin C)$

よってカッコの中身は $0$ になる。$\cos A\cos B\cos C$ で割ると，

$\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C=0$

直角三角形でないもとで，面積公式と余弦定理により

$\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{\cos A}{\sin A}\\ =\dfrac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}}\\ =\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

同様の式を $\tan B,\tan C$ についても作って足すと(iii)を得る。

なお，直角三角形のときは，例えば $\angle A$ が直角のとき，$\dfrac{1}{\tan A}=0$ とみなすと(iii)が成立することは簡単にわかる。

図のように三角形 $ABC$ の内心を $I$，$I$ から各辺へ下ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q,R$ とおく。

同じ点から引いた2本の接線の長さは等しいので,

$AR=c-BR\\ =c-BP\\ =c-(a-CP)\\ =c-a＋CQ\\ =c-a＋b-AQ\\ =c-a＋b-AR$

この式を $AR$ について解くと

$AR=s-a$

（ただし，$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とおいた。また，この手法はよく用いられるので，$AR=s-a$ も覚えておくとよい）

よって $\tan \alpha =\dfrac{r}{s-a}$

同様に $\tan \beta =\dfrac{r}{s-b}$ ，$\tan \gamma =\dfrac{r}{s-c}$

ここで，$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ より公式(ii)が使えて,

$\dfrac{s-a}{r}+\dfrac{s-b}{r}+\dfrac{s-c}{r}=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$

この式を変形していくと,

$r^2(3s-a-b-c)=(s-a)(s-b)(s-c)\\ (rs)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$

ここで,三角形の面積と内接円の半径の関係式を用いて,

$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)=rs$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

となりヘロンの公式を得る。

左辺を余弦定理で変形すると，

$27(2bc\cos C)^2(2ca\cos B)^2(2ab\cos A)^2$

となる。これと似たような形になるように意識しながら，右辺をサインの面積公式で変形すると，

$(2ab\sin C)^2(2bc\sin A)^2(2ca\sin B)^2$

よって，目標の不等式は

$27\cos^2A\cos^2B\cos^2C\leq \sin^2A\sin^2B\sin^2C$
$27\leq\tan^2A\tan^2B\tan^2C$

ここで，(i)を使うと，目標の不等式は

$27\leq (\tan A+\tan B+\tan C)^2$

となる。

一方，$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ において $y=\tan x$ は下に凸なので，イェンゼンの不等式より，

$\tan A+\tan B+\tan C\\ \geq 3\tan\dfrac{A+B+C}{3}\\ =3\sqrt{3}$

となり成立。