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タンジェントの美しい関係式(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)

更新日時 2021/03/07

(i) A+B+C=πA+B+C=\pi のとき

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C

(ii) α+β+γ=π2\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2} のとき

1tanα+1tanβ+1tanγ=1tanαtanβtanγ\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}

証明

(i)

tanA=tan(πA)=tan(B+C)=tanB+tanC1tanBtanC\tan A\\ =-\tan(\pi-A)\\ =-\tan(B+C)\\ =-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C}

分母を払って整理すると与式を得る。

(ii)

tanα=1tan(π2α)=1tan(β+γ)=1tanβtanγtanβ+tanγ\tan \alpha\\ =\dfrac{1}{\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{\tan (\beta+\gamma)}\\ =\dfrac{1-\tan \beta \tan \gamma}{\tan \beta +\tan \gamma}

分母を払って整理すると与式を得る。

目次
  • 応用例:ヘロンの公式の証明

応用例:ヘロンの公式の証明

ヘロンの公式の証明

図のように三角形 ABCABC の内心を IIII から各辺へ下ろした垂線の足をそれぞれ P,Q,RP,Q,R とおく。

同じ点から引いた2本の接線の長さは等しいので, ヘロンの公式の証明

AR=cBR=cBP=c(aCP)=caCQ=cabAQ=cabARAR=c-BR\\ =c-BP\\ =c-(a-CP)\\ =c-a+CQ\\ =c-a+b-AQ\\ =c-a+b-AR

この式を ARAR について解くと

AR=saAR=s-a

(この手法はよく用いられるので,この結果も覚えておくとよい)よって tanα=rsa\tan \alpha =\dfrac{r}{s-a}

同様に tanβ=rsb\tan \beta =\dfrac{r}{s-b}tanγ=rsc\tan \gamma =\dfrac{r}{s-c}

ここで,α+β+γ=π2\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2} より公式(ii)が使えて,

sar+sbr+scr=(sa)(sb)(sc)r3\dfrac{s-a}{r}+\dfrac{s-b}{r}+\dfrac{s-c}{r}=\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}

この式を変形していくと,

r2(3sabc)=(sa)(sb)(sc)(rs)2=s(sa)(sb)(sc)r^2(3s-a-b-c)=(s-a)(s-b)(s-c)\\ (rs)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)

ここで,三角形の面積と内接円の半径の関係式を用いて,

S=r2(a+b+c)=rsS=\dfrac{r}{2}(a+b+c)=rs

=s(sa)(sb)(sc)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

となりヘロンの公式を得る。

対称性を崩さずに計算できると気持ちいい!

Tag:三角関数の基本公式一覧

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