ヘロンの公式の証明
図のように三角形
ABC
の内心を
I
,I
から各辺へ下ろした垂線の足をそれぞれ
P,Q,R
とおく。
同じ点から引いた2本の接線の長さは等しいので,

AR=c−BR=c−BP=c−(a−CP)=c−a+CQ=c−a+b−AQ=c−a+b−AR
この式を
AR
について解くと
AR=s−a
(この手法はよく用いられるので,この結果も覚えておくとよい)よって
tanα=s−ar
同様に
tanβ=s−br
,tanγ=s−cr
ここで,α+β+γ=2π
より公式(ii)が使えて,
rs−a+rs−b+rs−c=r3(s−a)(s−b)(s−c)
この式を変形していくと,
r2(3s−a−b−c)=(s−a)(s−b)(s−c)(rs)2=s(s−a)(s−b)(s−c)
ここで,三角形の面積と内接円の半径の関係式を用いて,
S=2r(a+b+c)=rs
=s(s−a)(s−b)(s−c)
となりヘロンの公式を得る。