対称式に関するマクローリンの不等式

更新 2022/04/08

マクローリン（Maclaurin）の不等式

$n$ 変数 $k$ 次の基本対称式を ${}_n\mathrm{C}_k$ で割ったものを $d_k$ とする。このとき，

$d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}}$

なお，マクローリン展開をもとにした不等式（→マクローリン型不等式（指数関数））とは全く別物なので，ご注意ください。

具体例（ $n=3$ の場合）

$d_1=\dfrac{a+b+c}{3}$ ， $d_2=\dfrac{ab+bc+ca}{3}$ ， $d_3=abc$ なので，マクローリンの不等式は，（非負の $a,b,c$ に対して） $\dfrac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}\geq \sqrt[3]{abc}$ となります。

相加相乗の拡張

マクローリンの不等式の両端だけ持ってきたもの：
d1≥dn1nd_1\geq d_n^{\frac{1}{n}}d1​≥dnn1​​
は，まさに（nnn
 変数の）相加相乗平均の不等式です。
つまり，マクローリンの不等式は相加相乗平均の不等式の拡張とみなせます。

ニュートン→マクローリンの証明

ニュートンの不等式： $d_k^2\geq d_{k-1}d_{k+1}\:(k=1,2,\cdots,n-1)$ を認めたうえでマクローリンの不等式を導きます。（注： $d_0=1$ です）

証明

$k=1,2,\cdots,n-1$ に対して，

$d_k^{k+1}\geq d_{k+1}^k$

を示すのが目標。ニュートンの不等式を $k$ 本並べてみると，

$d_1^2\geq d_2\\ d_2^2\geq d_1d_3\\ d_3^2\geq d_2d_4\\ \vdots\\ d_k^2\geq d_{k-1}d_{k+1}$

（ $d_1$ から $d_{k-1}$ が消えるのを狙い）上から $t$ 個目の式を両辺 $t$ 乗（ $t=1,\cdots,k$ ）してから全ての式をかけ合わせると， $d_k^{2k}\geq d_k^{k-1}d_{k+1}^k$ つまり， $d_k^{k+1}\geq d_{k+1}^k$ を得る。