エルデス・モーデルの定理の証明

三角形 $BOC$ に注目して，角の二等分線を含む三角形の公式から

$$(b+c)x=2bc\cos \alpha$$

である。よって，相加相乗平均の不等式より，

$$x=\dfrac{2bc\cos\alpha}{b+c}\leq \sqrt{bc}\cos \alpha$$

同様に，

$$y\leq \sqrt{ca}\cos \beta, z\leq \sqrt{ab}\cos \gamma$$

よって，以下の不等式を示せば良い：

$$a+b+c-2\sqrt{bc}\cos \alpha-2\sqrt{ca}\cos\beta-2\sqrt{ab}\cos\beta\geq 0 \quad\cdots(1)$$

（注：これは $n=1$ の場合のKlamkinの不等式である。）

これを $\sqrt{a}$ に関する二次不等式とみると，判別式が0以下であることが必要十分である。

$$(\sqrt{c}\cos\beta+\sqrt{b}\cos\gamma)^2-(b+c-2\sqrt{bc}\cos\alpha)\leq 0$$

整理すると以下と同値である。

$$-c\sin^2\beta-b\sin^2\gamma+2\sqrt{bc} (\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha)\leq 0$$

ここで，$\alpha+\beta+\gamma=\pi$ より，$\cos\alpha=-\cos(\beta+\gamma)$ であり，加法定理を用いて上の不等式をさらに同値変形する。

$$-(\sqrt{c}\sin\beta-\sqrt{b}\sin\gamma)^2 \leq 0$$

これは成立する。