角の二等分線に関する重要な3つの公式

更新日時 2021/03/07
内角の二等分線に関する公式

内角の二等分線の図において,

  1. a:b=d:ea:b=d:e
  2. (a+b)f=2abcosA2(a+b)f=2ab\cos \dfrac{A}{2}
  3. f2=abdef^2=ab-de

 二等分線の公式

ただし,DDA\angle A の二等分線と BCBC の交点で,AB=a,AC=b,BD=d,DC=e,AD=fAB=a, AC=b, BD=d,DC=e, AD=f

内角の二等分線に関して大事な公式を3つ紹介します。辺の比に関する公式1は教科書レベルで,残りの2つの公式はややマニアックです。後半では,外角の二等分線に関する公式も紹介します。内角の場合と比較するとおもしろいです。

目次
  • 二等分線に関する3つの公式について

  • 公式1:角の二等分線と辺の比の公式

  • 公式2:面積に注目した二等分線の公式

  • 公式3:角の二等分線の長さ

  • 外角の二等分線に関する定理

二等分線に関する3つの公式について

  • 公式1は有名な辺の比の公式で教科書にも載っています。覚えましょう。
  • 公式2は暗記する必要はありませんが,導出方法は覚えておくとよいです。
  • 公式3はスチュワートの定理の特殊な形です。おもしろいですし,応用例も多いです。

これら3つの公式を使うことで,「二等分線を含む三角形について情報が3つ与えられれば残りの情報は全て求まる」ことが分かります。

  • (a,b,f)(a,b,f) が分かれば公式2により cosA2\cos \dfrac{A}{2} が分かり,余弦定理から d,ed, e も分かります。

  • (a,b,d)(a,b,d) が分かれば公式1により ee も分かりさらに公式3から ff も分かります。

以下では,それぞれの公式の証明と注意点を説明します。

公式1:角の二等分線と辺の比の公式

まずは,a:b=d:ea:b=d:e という有名な公式を証明してみましょう。

証明

二等分線の公式の証明

直線 ABAB と「CC を通り ADAD と平行な直線」との交点を EE とおく。

同位角,錯角より,

AEC=BAD=CAD=ACE\angle AEC=\angle BAD\\=\angle CAD=\angle ACE

よって,AE=ACAE=AC

また,3つの角がそれぞれ等しいので三角形 BADBAD と三角形 BECBEC は相似であり,

BA:AC=BA:AE=BD:DCBA:AC=BA:AE=BD:DC

つまり a:b=d:ea:b=d:e

公式2:面積に注目した二等分線の公式

公式2は公式自体よりも考え方が重要です。数学オリンピックなどの難問では頻出の構図です。三角関数の倍角の公式を使うことで両辺がうまくキャンセルされて綺麗な形になるのがポイントです。

証明

二等分線と面積

三角形 ABCABC の面積は 12absinA\dfrac{1}{2}ab\sin A

また,三角形 ABDABD と三角形 ACDACD の面積の和は,

12afsinA2+12bfsinA2\dfrac{1}{2}af\sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}bf\sin\dfrac{A}{2}

両者が等しいことと sinA=2sinA2cosA2\sin A=2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2} より,

2absinA2cosA2=(a+b)fsinA22ab\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}=(a+b)f\sin\dfrac{A}{2}

つまり,

(a+b)f=2abcosA2(a+b)f=2ab\cos\dfrac{A}{2}

公式3:角の二等分線の長さ

角の二等分線の長さは,f2=abdef^2=ab-de で計算することができます。これを3通りの方法で証明してみます。

証明1

 二等分線の公式

公式2と三角形 ABDABD についての余弦定理より,

(a+b)f=2ab×a2+f2d22af(a+b)f=2ab\times\dfrac{a^2+f^2-d^2}{2af}

これを ff について解く:

f2=abbd2a=abdef^2=ab-\dfrac{bd^2}{a}=ab-de

ただし,最後の変形は公式 11 による。

証明2

三角形 ABCABC の外接円と ADAD の交点を EE とおく。

二等分線の公式の証明

円周角の定理より白丸○の角度が等しいので ABDABDAECAEC は相似。

よって,a:AE=f:ba:AE=f:b

ab=f×AE=f×(f+DE)=f2+f×DE=f2+deab=f\times AE\\ =f\times (f+DE)\\ =f^2+f\times DE\\ =f^2+de

ただし,最後の等号は方べきの定理を使った。

証明3

スチュワートの定理から分かる。→スチュワートの定理の証明とその仲間

外角の二等分線に関する定理

外角の場合も,内角の場合と似た式が成立します。

同じように,A\angle A の外角の二等分線と直線 BCBC との交点を DD とします。

外角の二等分線に関する定理

外角の二等分線の公式

外角の二等分線の図において,

  1. a:b=BD:DCa:b=BD:DC
  2. abf=2abcosA2|a-b|f=2ab\cos\dfrac{A}{2}
  3. f2=BD×DCabf^2=BD\times DC-ab

内角の場合の式:

  1. a:b=BD:DCa:b=BD:DC
  2. (a+b)f=2abcosA2(a+b)f=2ab\cos \dfrac{A}{2}
  3. f2=abBD×DCf^2=ab-BD\times DC

と比べてみるとおもしろいです。証明も,内角の場合とほとんど同じようにできます。

1の証明の概略

内角の場合と同じく,直線 ABAB と「CC を通り ADAD と平行な直線」の交点を EE とすると,相似な三角形ができる。

2の証明

3つの三角形の面積について,

ABDACD=ABC|ABD|-|ACD|=|ABC|

が成立するので

12afsinA212bfsinA2=12absinA\dfrac{1}{2}af\sin\dfrac{A}{2}-\dfrac{1}{2}bf\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{2}ab\sin A

となることからわかる。

3の証明も内角の場合の証明とほとんど同じです。証明1,2のどちらも外角の場合に拡張できて楽しいのでやってみてください。

重要なのは公式を暗記することではなく,二等分線を含む三角形において情報が3つ与えられれば他の値は求められる,と理解することです。

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