ニュートンの定理とその証明

$P(X,Y)$ とおく。

まず $|ABP|$ について考える。 $AB$ を底辺とみると，$|ABP|$ は $\dfrac{1}{2}$ と「$AB$ の長さ」と「高さ」の積である。そして，

• 高さは，点と直線の距離公式より，$\dfrac{|aX+bY+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ という形で表せる
• $AB$ の長さは $X,Y$ によらない

であるので，$|ABP|$ は $X$ および $Y$ の一次関数となる（$P$ が四角形内部のもとで考えているので絶対値が外せる）。つまり，$$|ABP|=\alpha X+\beta Y+\gamma$$ と書ける 同様に，$|CDP|,\:|BCP|,\:|DAP|$ たちも $X$ および $Y$ の一次関数。

つまり，条件式 $|ABP|+|CDP|=|BCP|+|DAP|$ は $X$ と $Y$ の一次式 $=0$ という形になるので，この等式を満たす軌跡は線分（直線と四角形の内部の共通部分）である。

円に外接する四角形の性質より，$AB+CD=BC+DA$ 。また，高さは共通なので，$|ABO|+|CDO|=|BCO|+|DAO|$ が成立する。

$O$ を原点とする複素数平面で考える。$AB,\:BC,\:CD,\:DA$ と内接円の接点をそれぞれ $P(\alpha),\:Q(\beta),\:R(\gamma),\:S(\delta)$ とおく。内接円の半径を $1$ としても一般性を失わない。

まず，直線 $AB$ の方程式を求めると，

$\overline{\alpha} z+\alpha\overline{z}=2$

同様に，直線 $DA$ の方程式は，

$\overline{\delta} z+\delta\overline{z}=2$

これらを連立して $z$ について解くことにより $A$ の座標は

$\dfrac{2(\delta-\alpha)}{\overline{\alpha}\delta-\alpha\overline{\delta}}=\dfrac{2\alpha\delta}{\alpha+\delta}$

となる。同様に $B,\:C,\:D$ も求まり，

$M$ の座標は $m=\dfrac{\alpha\delta}{\alpha+\delta}+\dfrac{\beta\gamma}{\beta+\gamma}$

$N$ の座標は $n=\dfrac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}+\dfrac{\gamma\delta}{\gamma+\delta}$

あとは，$\dfrac{m}{n}$ が実数であることを示せばよい（$n=0$ のときは $N$ と $O$ が重なり自明なので $n\neq 0$ で考える)。

実際，$\alpha\overline{\alpha}=1$ などに注意して計算すると $\dfrac{m}{n}=\dfrac{(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)}{(\alpha+\delta)(\beta+\gamma)}=\dfrac{(\overline{\alpha}+\overline{\beta})(\overline{\gamma}+\overline{\delta})}{(\overline{\alpha}+\overline{\delta})(\overline{\beta}+\overline{\gamma})}=\dfrac{\overline{m}}{\overline{n}}$

となり，$M,\:N,\:O$ が同一直線上にあることが証明された。