素数の逆数和が発散することの証明

まず，$n$ 以下の素数を小さい順に $p_1,\:p_2,\cdots ,p_t$ とおくと，$n$ 以下の正の整数の素因数は全て $p_1$ から $p_t$ のいずれかなので，

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k} <\prod_{i=1}^t\left(1+\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{p_i^2}+\dfrac{1}{p_i^3}+\cdots\right)$

（右辺を展開して並べてみると左辺の各項が全て登場し，なお余分な項がある）

次に，右辺を等比級数の和の公式で変形すると，

$\displaystyle\prod_{i=1}^t\dfrac{1}{1-\frac{1}{p_i}}=\prod_{i=1}^t\left(1+\dfrac{1}{p_i-1}\right)$

となる。

ここで，積の形が扱いにくいので上記の不等式の対数を取って和の形にする：

$\log \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\right) <\displaystyle\log\left(\prod_{i=1}^t(1+\dfrac{1}{p_i-1})\right)\\ =\displaystyle\sum_{i=1}^t\log(1+\dfrac{1}{p_i-1})\\ < \displaystyle\sum_{i=1}^t\dfrac{1}{p_i-1}$

ただし，最後の変形では前提知識2を用いた。素数の逆数和っぽい形が出てきた。

ここで，$i$ 番目の素数は $i-1$ 番目の素数より $1$ 以上大きいので，$p_{i}-1 \geq p_{i-1}$

よって，さきほどの最後の式

$=1+\displaystyle\sum_{i=2}^t\dfrac{1}{p_i-1}\\ \leq 1+\displaystyle\sum_{i=2}^t\dfrac{1}{p_{i-1}}\\ =1+\displaystyle\sum_{i=1}^{t-1}\dfrac{1}{p_{i}}$

結局以下の不等式を得た：

$\log \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\right) <1+\displaystyle\sum_{i=1}^{t-1}\dfrac{1}{p_{i}}$

ここで $n\to\infty$ とすると前提知識1より左辺は発散する。よって，右辺も発散する。 $n\to\infty$ のとき $t\to\infty$ であることに注意すると，素数の逆数和が発散することが示された：

$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\sum_{i=1}^t\dfrac{1}{p_i}=\infty$