空間図形

正三角形の面積,正四面体の体積を求める公式

(i)1辺の長さが aa の正三角形の面積 SS は,

S=34a2S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

(ii)1辺の長さが aa の正四面体の体積 VV は,

V=212a3V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3

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内接球の半径を求める公式と例題・証明

四面体において内接球の半径を rr,表面積を SS,体積を VV とおくと,

V=13rS V=\dfrac{1}{3}rS

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等面四面体とその性質

等面四面体:

全ての面が合同な四面体の問題は 直方体への埋め込みを考えればほぼ確実に解ける

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正八面体を上から見た図と東大の問題

正八面体を上から見た図,1つの面と平行な平面で切った切断面の形は覚えておくとよい。

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正多面体が5種類しかないことの2通りの証明

正多面体は,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体の5つのみ。

正多面体がこの5種類以外にないことの証明を解説します。入試や数オリで直接役立つことはありませんが,雑学として知っておくとよいでしょう。

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球面上の三角形の面積と内角の和

半径が RR の球面上に内角の大きさが A,B,CA,\:B,\:C であるような三角形がある。この三角形の面積は, S=R2(A+B+Cπ)S=R^2(A+B+C-\pi) である。

また, 球面上の三角形の内角の和は π\pi より大きい。

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球の体積と表面積の公式の覚え方・積分での求め方

球の体積と表面積の公式:

半径 rr の球の表面積は S=4πr2,S=4\pi r^2,\: 球の体積は V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^3 である。

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四平方の定理(図形の面積と正射影)

四平方の定理

四平方の定理(四面体):

4つの面のうち3つが直角三角形である図のような三角錐において,

ABC2=OAB2+OBC2+OCA2|ABC|^2=|OAB|^2+|OBC|^2+|OCA|^2

ただし,ABC|ABC| で三角形 ABCABC の面積を表します。三平方の定理の三次元空間バージョンです!

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四面体の重心の存在証明と応用例

四面体の重心:

四面体において,頂点と対面の重心を結ぶ四本の線分は一点で交わる。これを四面体の重心と言う。

四面体に重心が存在することの証明と応用例を解説します。

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球面上の多角形の面積と美しい応用

半径が RR の球面上の nn 角形について,その面積を SS ,内角を θ1,θ2,,θn\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n とおくと,

S=R2{i=1nθi(n2)π} S=R^2\{\displaystyle\sum_{i=1}^n\theta_i-(n-2)\pi\}

この公式の証明,および美しい応用としてオイラーの多面体定理の証明を解説します。

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凸包に関するカラテオドリの定理とその証明

カラテオドリの定理:

AARn\mathbb{R}^n の部分集合 SS の凸包に含まれているとき,SS から n+1n+1 個の点をうまく選んでくれば,その n+1n+1 個の点の凸包に AA が含まれるようにできる。

基本的な用語の解説→ n=2n=2 の場合で定理の意味をつかむ→定理の証明。

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錐体の体積に1/3がつくことの2通りの説明

三角錐,四角錐,円錐などの錐体の体積は

13×底面積×高さ \dfrac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}

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正四面体の中心角の2通りの求め方

正四面体 ABCDABCD の中心を GG とする。このとき,正四面体の中心角 θ=AGB\theta=\angle AGB は, cosθ=13\cos\theta=-\dfrac{1}{3} を満たす。

具体的には, θ109.5\theta\simeq 109.5^{\circ}

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正六面体と正八面体の双対関係と京大の問題

正六面体と正八面体は互いに双対である。

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平面,空間上の2点間の距離について

平面内の2点 A=(ax,ay),B=(bx,by)A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2} で与えられる。

また,空間内の2点 A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)A = (a_x, a_y, a_z), B = (b_x, b_y, b_z) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2+(azbz)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2} で与えられる。

平面あるいは空間内にある2点間の距離を,点の座標によって表す数式です。

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正12面体のいろいろな計算

正12面体について,対角線の長さ・体積などいろいろな量を計算してみます。

正12面体とは,

  • 同じサイズの正五角形12枚で構成される正多面体です。
  • 面の数は 1212,辺の数は 3030,頂点の数は 2020 です。
  • 1つの頂点には3つの正五角形が接します。

→ 正12面体のいろいろな計算