空間図形

    更新日時 2021/03/11

    正三角形の面積,正四面体の体積を求める公式

    (i)1辺の長さが aa の正三角形の面積 SS は,

    S=34a2S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

    (ii)1辺の長さが aa の正四面体の体積 VV は,

    V=212a3V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3

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    等面四面体とその性質

    等面四面体:

    全ての面が合同な四面体の問題は 直方体への埋め込みを考えればほぼ確実に解ける

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    正多面体が5種類しかないことの2通りの証明

    正多面体は,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体の5つのみ。

    正多面体がこの5種類以外にないことの証明を解説します。入試や数オリで直接役立つことはありませんが,雑学として知っておくとよいでしょう。

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    球面上の三角形の面積と内角の和

    半径が RR の球面上に内角の大きさが A,B,CA,\:B,\:C であるような三角形がある。この三角形の面積は, S=R2(A+B+Cπ)S=R^2(A+B+C-\pi) である。

    また, 球面上の三角形の内角の和は π\pi より大きい。

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    球の体積と表面積を積分で証明

    球の体積と表面積の公式:

    半径 rr の球の表面積は S=4πr2,S=4\pi r^2,\: 球の体積は V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^3 である。

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    四平方の定理(図形の面積と正射影)

    四平方の定理

    四平方の定理(四面体):

    4つの面のうち3つが直角三角形である図のような三角錐において,

    ABC2=OAB2+OBC2+OCA2|ABC|^2=|OAB|^2+|OBC|^2+|OCA|^2

    ただし,ABC|ABC| で三角形 ABCABC の面積を表します。三平方の定理の三次元空間バージョンです!

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    四面体の重心の存在証明と応用例

    四面体の重心:

    四面体において,頂点と対面の重心を結ぶ四本の線分は一点で交わる。これを四面体の重心と言う。

    四面体に重心が存在することの証明と応用例を解説します。

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    球面上の多角形の面積と美しい応用

    半径が RR の球面上の nn 角形について,その面積を SS ,内角を θ1,θ2,,θn\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n とおくと,

    S=R2{i=1nθi(n2)π}S=R^2\{\displaystyle\sum_{i=1}^n\theta_i-(n-2)\pi\}

    この公式の証明,および美しい応用としてオイラーの多面体定理の証明を解説します。

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    凸包に関するカラテオドリの定理とその証明

    カラテオドリの定理:

    AARn\mathbb{R}^n の部分集合 SS の凸包に含まれているとき,SS から n+1n+1 個の点をうまく選んでくれば,その n+1n+1 個の点の凸包に AA が含まれるようにできる。

    基本的な用語の解説→ n=2n=2 の場合で定理の意味をつかむ→定理の証明。

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    正四面体の中心角の2通りの求め方

    正四面体 ABCDABCD の中心を GG とする。このとき,正四面体の中心角 θ=AGB\theta=\angle AGB は,

    cosθ=13\cos\theta=-\dfrac{1}{3} を満たす。

    具体的には, θ109.5\theta\simeq 109.5^{\circ}

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    平面,空間上の2点間の距離について

    平面内の2点 A=(ax,ay),B=(bx,by)A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2} で与えられる。

    また,空間内の2点 A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)A = (a_x, a_y, a_z), B = (b_x, b_y, b_z) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2+(azbz)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2} で与えられる。

    平面あるいは空間内にある2点間の距離を,点の座標によって表す数式です。

    → 平面,空間上の2点間の距離について