空間図形
正多面体が5種類しかないことの2通りの証明
正多面体は,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体の5つのみ。
正多面体がこの5種類以外にないことの証明を解説します。入試や数オリで直接役立つことはありませんが,雑学として知っておくとよいでしょう。
球面上の三角形の面積と内角の和
半径が の球面上に内角の大きさが であるような三角形がある。この三角形の面積は, である。
また, 球面上の三角形の内角の和は より大きい。
四平方の定理(図形の面積と正射影)
四平方の定理(四面体):
4つの面のうち3つが直角三角形である図のような三角錐において,
ただし, で三角形 の面積を表します。三平方の定理の三次元空間バージョンです!
四面体の重心の存在証明と応用例
四面体の重心:
四面体において,頂点と対面の重心を結ぶ四本の線分は一点で交わる。これを四面体の重心と言う。
四面体に重心が存在することの証明と応用例を解説します。
球面上の多角形の面積と美しい応用
半径が の球面上の 角形について,その面積を ,内角を とおくと,
この公式の証明,および美しい応用としてオイラーの多面体定理の証明を解説します。
凸包に関するカラテオドリの定理とその証明
カラテオドリの定理:
が の部分集合 の凸包に含まれているとき, から 個の点をうまく選んでくれば,その 個の点の凸包に が含まれるようにできる。
基本的な用語の解説→ の場合で定理の意味をつかむ→定理の証明。
平面,空間上の2点間の距離について
平面内の2点 の間の距離 は で与えられる。
また,空間内の2点 の間の距離 は で与えられる。
平面あるいは空間内にある2点間の距離を,点の座標によって表す数式です。
正12面体のいろいろな計算
正12面体について,対角線の長さ・体積などいろいろな量を計算してみます。
正12面体とは,
- 同じサイズの正五角形12枚で構成される正多面体です。
- 面の数は ,辺の数は ,頂点の数は です。
- 1つの頂点には3つの正五角形が接します。