空間図形

(i)1辺の長さが $a$ の正三角形の面積 $S$ は，

$$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

(ii)1辺の長さが $a$ の正四面体の体積 $V$ は，

$$V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$$

四面体において内接球の半径を $r$，表面積を $S$，体積を $V$ とおくと，

$$V=\dfrac{1}{3}rS$$

等面四面体：

全ての面が合同な四面体の問題は 直方体への埋め込みを考えればほぼ確実に解ける

正八面体を上から見た図，1つの面と平行な平面で切った切断面の形は覚えておくとよい。

正多面体は，正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体の5つのみ。

半径が $R$ の球面上に内角の大きさが $A,\:B,\:C$ であるような三角形がある。この三角形の面積は， $S=R^2(A+B+C-\pi)$ である。

また， 球面上の三角形の内角の和は $\pi$ より大きい。

球の体積と表面積の公式：

半径 $r$ の球の表面積は $S=4\pi r^2,\:$ 球の体積は $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ である。

四平方の定理（四面体）：

4つの面のうち3つが直角三角形である図のような三角錐において，

$$|ABC|^2=|OAB|^2+|OBC|^2+|OCA|^2$$

四面体の重心：

四面体において，頂点と対面の重心を結ぶ四本の線分は一点で交わる。これを四面体の重心と言う。

半径が $R$ の球面上の $n$ 角形について，その面積を $S$ ，内角を $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n$ とおくと，

$$S=R^2\{\displaystyle\sum_{i=1}^n\theta_i-(n-2)\pi\}$$

カラテオドリの定理：

$A$ が $\mathbb{R}^n$ の部分集合 $S$ の凸包に含まれているとき，$S$ から $n+1$ 個の点をうまく選んでくれば，その $n+1$ 個の点の凸包に $A$ が含まれるようにできる。

三角錐，四角錐，円錐などの錐体の体積は

$$\dfrac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$$

正四面体 $ABCD$ の中心を $G$ とする。このとき，正四面体の中心角 $\theta=\angle AGB$ は， $\cos\theta=-\dfrac{1}{3}$ を満たす。

具体的には， $\theta\simeq 109.5^{\circ}$

正六面体と正八面体は互いに双対である。

平面内の２点 $A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y)$ の間の距離 $d$ は $$d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2}$$ で与えられる。

また，空間内の２点 $A = (a_x, a_y, a_z), B = (b_x, b_y, b_z)$ の間の距離 $d$ は $$d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2}$$ で与えられる。