空間図形

正多面体は，正4面体，正6面体，正8面体，正12面体，正20面体の5つのみ。

半径 $r$ の球の表面積は $S=4\pi r^2,\:$ 球の体積は $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ である。

• 2次元の場合

$$d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2}$$

• 3次元の場合

$$d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2}$$

空間内の2直線 $l,m$ はねじれの位置にあるとする。$l$ と $m$ に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。

多面体において表面積を $S$，体積を $V$，内接球の半径を $r$ とおくと，

$$V=\dfrac{1}{3}rS$$

全ての面が合同な四面体の問題は直方体への埋め込みを考えればほぼ確実に解ける。

4つの面のうち3つが直角三角形である図のような三角錐（直角三角錐，三直角四面体）において，

$$|ABC|^2=|OAB|^2+|OBC|^2+|OCA|^2$$

四面体において，頂点と対面の重心を結ぶ四本の線分は一点で交わる。これを四面体の重心という。

• $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
  で表される曲面を楕円面と言う。

• 楕円面を表面とする立体
  $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\leq 1$
  を楕円体と言う。

• 特に，$a,b,c$ のうち2つ以上が等しい場合，楕円面のことを回転楕円面と言い，楕円体のことを回転楕円体と言う。

• $a=b=c$ の場合は球面・球になる。

四面体 $ABCD$ において，以下は同値：

1. $AB\perp CD$，$AC\perp BD$

2. $AB\perp CD$，$AC\perp BD$，$AD\perp BC$

3. 四面体 $ABCD$ に垂心が存在する（頂点から対面におろした4本の垂線が1点で交わる）。

4. $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$

5. 対辺の中点同士を結ぶ3本の線分の長さが等しい

半径 $R$ の球面上にあり，内角の大きさが $A,\:B,\:C$ である三角形の面積は，

$S=R^2(A+B+C-\pi)$

各面が平行四辺形である六面体のことを平行六面体と呼ぶ。

半正多面体は上記の13通りのみ。

$A$ が $\mathbb{R}^n$ の部分集合 $S$ の凸包に含まれているとき，$S$ から $n+1$ 個の点をうまく選んでくれば，その $n+1$ 個の点の凸包に $A$ が含まれるようにできる。