球の体積と表面積の公式の覚え方・積分での求め方

半径 $3 \text{ cm}$ の球の体積 $V$ は

$$V = \dfrac{4}{3} \pi \times 3^3 = 36\pi$$

半球の体積は，この半分なので，

$$36\pi \times \dfrac{1}{2} = 18\pi$$

よって答えは $18\pi \text{ cm}^3$ である。

半径 $3 \text{ cm}$ の球の表面積 $S$ は

$$S = 4 \pi \times 3^2 = 36\pi$$

半球の表面積は，「この半分」と「半径 $3 \text{ cm}$ の円の面積」を足したものなので，

$$36\pi\times\dfrac{1}{2} + \pi \times 3^2 = 27\pi$$

よって答えは $27\pi \text{ cm}^2$ である。

$xy$ 平面上で原点を中心とした半径 $r$ の円板 $C$ を $x$ 軸の回りに回転させた立体は半径 $r$ の球である。

$C$ の境界の上半分は $y=\sqrt{r^2-x^2}$ である。

よって，

$$\begin{aligned} V&= \int_{-r}^r\pi (\sqrt{r^2-x^2})^2dx\\ &=2\pi \int_{0}^r(r^2-x^2)dx\\ &=2\pi\left[r^2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^r\\ &=\dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned}$$

緯度が $\theta$ から $\theta+\Delta \theta$ の部分（帯のような図形※）の表面積を考える。

周の長さは $2\pi r\cos\theta$ ，帯の幅は $r\Delta\theta$ なので帯の表面積は，

$2\pi r^2\cos\theta\Delta\theta$

よって，$\Delta\theta\to 0$ の極限を考えることで

$$\begin{aligned} S &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\pi r^2\cos\theta d\theta\\ &= 4\pi r^2 \end{aligned}$$

半径 $t$ の球の表面積を $S(t)$ と書く。半径 $r$ の球を「薄い球殻」を寄せ集めたものとみなして体積を求める。

三次元空間において原点からの距離が $t$ 以上 $t+\Delta t$ 以下の間にある部分を考える（このような図形を球殻と呼ぶ）。

$\Delta t$ が十分小さいとき，この球殻の体積は $S(t)\Delta t$ とみなせる（表面積×厚さ）。このような球殻を $t=0$ から $t=r$ まで寄せ集めたものが半径 $r$ の球であり，体積は $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ である。

よって，$\Delta t\to 0$ の極限で

$$\int_0^{r}S(t)dt=\dfrac{4}{3}\pi r^3$$

両辺を $r$ で微分すると $S(r)=4\pi r^2$ を得る。

内接球の半径を求める一般的な公式より，（内接球が存在するような）任意の多面体において，$V=\dfrac{1}{3}rS$ が成立する。

球に限りなく近い多面体についても

$$V=\dfrac{1}{3}rS$$

が成立するので，極限を考えることで球についても

$$S=\dfrac{3V}{r}=4\pi r^2$$