集合,命題,論証

    更新日時 2021/03/11

    鳩ノ巣原理を使う数学オリンピックの問題

    鳩ノ巣原理:

    nn 人を mm グループに分けると nm\lceil \dfrac{n}{m}\rceil 人以上いるグループが少なくとも1つは存在する。

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    数学的帰納法によるハゲのパラドックス

    全ての人はハゲである

    数学好きなら知っておくべき有名なパラドックスを解説します。

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    ド・モルガンの法則の解説

    ド・モルガンの法則:

    1:AB=AB\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}

    2:AB=AB\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

    1’: A1A2An=A1A2An\overline{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap\cdots\cap\overline{A_n}

    2’: A1A2An=A1A2An\overline{A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n}=\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup\cdots\cup\overline{A_n}

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    ラッセルのパラドックスの簡単な解説と例

    今回は自分自身を含む集合について考えてみます。ラッセルのパラドックスという有名な話題です。

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    シンプソンのパラドックス

    シンプソンのパラドックス(Simpson’s paradox):

    「全体で見たときの相関」と「分割して見たときの相関」が逆になってしまうことがある。

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    必要条件,十分条件の覚え方といろいろな例題

    「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」について,基礎からわかりやすく解説します。

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    集合関数,劣モジュラ性とは

    集合関数と劣モジュラ性についての基本事項を解説します。

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    背理法の意味といろいろな例

    背理法とは

    「命題が正しくないと仮定する」

    「その結果,矛盾してしまう」

    「よって,命題は正しい」

    という流れで証明を行う手法のこと。

    背理法の意味と,いろいろな例について解説します。

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    対偶を用いた証明のいろいろな具体例

    対偶:

    PP ならば QQ 」に対して,「 QQ でないならば PP でない」のことを対偶と言います。

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    開区間,閉区間の意味と関連する話題

    開区間,閉区間の定義,空集合や全体集合が開かつ閉であることなどについて解説します。

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    集合の記号の意味まとめ

    集合の記号とその意味について整理しました。高校数学で習うものと習わないものに分けました。

    → 集合の記号の意味まとめ

    全称記号(任意の〜)と存在記号(ある〜)について

    「任意の」とは「全ての」という意味です。 \forall という記号を使って表すことがあります。

    この記事では,数学でよく使う「任意の」と「ある」という言葉,そしてそれらを表す記号 \forall\exists について解説します。

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    カントールの定理の証明と対角線論法

    カントールの定理:

    任意の集合 AA に対して,A<2A|A| < |2^A|

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    シェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックス

    平面内の部分集合 SS で,以下の条件を満たすようなものが存在する。

    条件「 SS の分割 {S1,S2}\{S_1,S_2\} が存在して,S1S_1 を平行移動すると SS と一致し,S2S_2 を回転すると SS と一致する」

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    カントール集合とその性質

    区間 [0,1][0,1] から「線分を三等分して真ん中を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合をカントール集合という。

    カントール集合という不思議な集合を紹介します。

    → カントール集合とその性質

    ベルンシュタインの定理とその証明

    ベルンシュタインの定理:

    集合 A,BA,B について,AA から BB への単射があり,BB から AA への単射があれば AA から BB への全単射(一対一対応)がある。

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    補集合の定義と具体例・問題例

    集合 AA補集合とは,「全体」の中で AA に含まれない要素をすべて集めたもの。

    → 補集合の定義と具体例・問題例