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集合,命題,論証

    更新日時 2021/03/11

    ド・モルガンの法則の解説

    ド・モルガンの法則:

    1:AB=AB\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}

    2:AB=AB\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

    1’: A1A2An=A1A2An\overline{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap\cdots\cap\overline{A_n}

    2’: A1A2An=A1A2An\overline{A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n}=\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup\cdots\cup\overline{A_n}

    → ド・モルガンの法則の解説

    シンプソンのパラドックス

    シンプソンのパラドックス(Simpson’s paradox):

    「全体で見たときの相関」と「分割して見たときの相関」が逆になってしまうことがある。

    → シンプソンのパラドックス

    背理法の意味といろいろな例

    背理法とは

    「命題が正しくないと仮定する」

    「その結果,矛盾してしまう」

    「よって,命題は正しい」

    という流れで証明を行う手法のこと。

    背理法の意味と,いろいろな例について解説します。

    → 背理法の意味といろいろな例

    集合の記号の意味まとめ

    集合の記号とその意味について整理しました。高校数学で習うものと習わないものに分けました。

    → 集合の記号の意味まとめ

    全称記号(任意の〜)と存在記号(ある〜)について

    「任意の」とは「全ての」という意味です。 \forall という記号を使って表すことがあります。

    この記事では,数学でよく使う「任意の」と「ある」という言葉,そしてそれらを表す記号 \forall\exists について解説します。

    → 全称記号(任意の〜)と存在記号(ある〜)について

    シェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックス

    平面内の部分集合 SS で,以下の条件を満たすようなものが存在する。

    条件「 SS の分割 {S1,S2}\{S_1,S_2\} が存在して,S1S_1 を平行移動すると SS と一致し,S2S_2 を回転すると SS と一致する」

    → シェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックス

    カントール集合とその性質

    区間 [0,1][0,1] から「線分を三等分して真ん中を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合をカントール集合という。

    カントール集合という不思議な集合を紹介します。

    → カントール集合とその性質

    ベルンシュタインの定理とその証明

    ベルンシュタインの定理:

    集合 A,BA,B について,AA から BB への単射があり,BB から AA への単射があれば AA から BB への全単射(一対一対応)がある。

    → ベルンシュタインの定理とその証明

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