背理法の意味といろいろな例
背理法とは，
①命題が正しくないと仮定する
②その結果，矛盾してしまう
③よって，命題は正しい
という流れで証明を行う手法のこと。
背理法の意味と，いろいろな例について解説します。英語では，Proof by Contradiction と呼びます。「矛盾による証明」という意味です。
背理法＝正しくない仮定をおいて矛盾を導く論法
背理法＝正しくない仮定をおいて矛盾を導く論法
背理法は証明方法の一つです。「①命題が正しくないと仮定して，②その結果矛盾していることを導き，③それゆえに命題は正しい」という流れで証明する方法です。
これだけではわかりにくいですが，以下の例題1を見れば理解しやすいです。
「無理数である」を背理法で証明する例題
「無理数である」を背理法で証明する例題
が無理数であることを証明せよ。
① が有理数だと仮定する。
つまり， （ と は互いに素な自然数）と書けるとする。
このとき，
左辺は偶数なので右辺も偶数。よって， は偶数。すると，右辺は の倍数になるので も偶数。
② これは と が互いに素であることに 矛盾。
③ よって，背理法により が無理数であることが示された。
このように，
①命題が正しくないと仮定する
②その結果，矛盾してしまう
③よって，命題は正しい
という流れで証明を行うのが背理法です。①はただ仮定するだけです。③は「元の命題が正しくないなら矛盾するので元の命題は正しい」というあたりまえな主張です。大変なのは，矛盾を導く②です。
注：背理法の導入のためにわざわざ背理法を使いましたが，ルート2の無理数性の証明には他にもいろいろな方法があります。→ルート2が無理数であることの4通りの証明
「全て異なる」を背理法で証明する例題
「全て異なる」を背理法で証明する例題
例題1は，背理法を使う最も有名な例の1つでした。次はもう少し難しい背理法の例題を解いてみましょう。
と は互いに素な正の整数とする。 を で割った余りは全て異なることを証明せよ。
の中に で割った余りが同じであるような二つの数が存在したと仮定する。これを と とおく 。
このとき は の倍数。
一方，
- は と互いに素
より， は の倍数にはなり得ない。 矛盾。背理法により目標の主張が示された。
注：これは一次不定方程式の背景にある有名な定理です。→一次不定方程式ax+by=cの整数解
背理法のいろいろな例
背理法のいろいろな例
背理法を使って証明できる命題を集めました。上の2つの例題よりもかなり難しいものが多いです。詳細はリンク先をどうぞ。
-
は無理数である。
→tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明 -
ネイピア数 は無理数である。
→ネイピア数eが無理数であることの証明 -
フロベニウスの硬貨交換問題（主張1の部分）
→フロベニウスの硬貨交換問題 -
レイリーの定理（整数問題のややマニアックな定理）
→レイリーの定理とその自然な証明 -
素数は無限にある
→素数が無限にあることの4通りの証明
対偶による証明と背理法
対偶による証明と背理法
対偶法（対偶を用いた証明）と背理法による証明は混同されることがありますが，別物です。
ある命題 を示すときに，
- 背理法： かつ を仮定して矛盾を導く方法
- 対偶による証明： を仮定して を導く方法
です。しっかりと区別しましょう。
「背理法は好きじゃない」という人もいますが，私は背理法けっこう好きです。
