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背理法の意味といろいろな例

更新日時 2021/03/07

背理法とは,

  1. 命題が正しくないと仮定する
  2. その結果,矛盾してしまう
  3. よって,命題は正しい

という流れで証明を行う手法のこと。

背理法の意味と,いろいろな例について解説します。

目次
  • 背理法とは

  • 背理法を使って「全て異なる」を証明する

  • 背理法のいろいろな例

背理法とは

背理法は数学における証明の手法の1つです。以下の例題を使って,背理法について解説します。

例題1

2\sqrt{2} が無理数であることを証明せよ。

証明

2\sqrt{2} が有理数だと仮定する。

つまり,2=qp\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}ppqq は互いに素な自然数)と書けるとする。

このとき,2p2=q22p^2=q^2

左辺は偶数なので右辺も偶数。よって,qq は偶数。すると,右辺は 44 の倍数になるので pp も偶数。

これは ppqq が互いに素であることに 矛盾。

よって,背理法により題意は示された。

このように,

  1. 命題が正しくないと仮定する

  2. その結果,矛盾してしまう

  3. よって,命題は正しい

という流れで証明を行うのが背理法です。

注:背理法の導入のために,わざわざ背理法を使いましたが,ルート2の無理数性の証明には他にもいろいろな方法があります。→ルート2が無理数であることの4通りの証明

背理法を使って「全て異なる」を証明する

例題1は,背理法を使う最も有名な例の1つでした。次は,もう少し難しい背理法の例題を解いてみましょう。

例題2

aabb は互いに素な正の整数とする。 0,a,2a,,(b1)a0,a,2a,\cdots, (b-1)abb で割った余りは全て異なることを証明せよ。

証明

0,a,2a,,(b1)a0,a,2a,\cdots, (b-1)a の中に bb で割った余りが同じであるような二つの数が存在したと仮定する。これを iaiajaja とおく (0i<jb1)(0\leq i <j\leq b-1)

このとき jaia=(ji)aja-ia=(j-i)abb の倍数。

一方,

  • aabb と互いに素
  • 1jib11 \leq j-i \leq b-1

より,(ji)a(j-i)abb の倍数にはなり得ない。 矛盾。背理法により題意は示された。

注:これは一次不定方程式の背景にある有名な定理です。→一次不定方程式ax+by=cの整数解

背理法のいろいろな例

背理法を使って証明できる命題を集めました。上の二つの例題よりもかなり難しいものが多いです。詳細はリンク先をどうぞ。

tan1\tan 1^{\circ} は無理数である。

→tan1°が無理数であることの証明

・ネイピア数 ee は無理数である。

→ネイピア数eが無理数であることの証明

・フロベニウスの硬貨交換問題(主張1の部分)

→フロベニウスの硬貨交換問題

・レイリーの定理(整数問題のややマニアックな定理)

→レイリーの定理とその自然な証明

・素数は無限にある

→素数が無限にあることの4通りの証明

「背理法は好きじゃない」という人もいますが,僕は背理法けっこう好きです。

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