ルート２が無理数であることの４通りの証明

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。

このとき，互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}$ とおける。

両辺二乗して分母を払うと，$2p^2=q^2$

左辺は $2$ の倍数なので $q^2$ は $2$ の倍数。よって $q$ は $2$ の倍数。

すると，$q^2$ は $4$ の倍数になるので，$p^2$ が $2$ の倍数。よって $p$ も $2$ の倍数。

これは $p$ と $q$ が互いに素であることに矛盾。

$\sqrt{2}$ が有理数 $\iff \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ を満たす整数 $a,b$ が存在する

なので，

$a^2=2b^2$ を満たす整数 $a,b$ が存在しないことを証明すればよい。

$a,b$ を素因数分解したときの $2$ の指数（$2$ で何回割り切れるか）を考えることで，

左辺は $2$ で偶数回，右辺は $2$ で奇数回割り切れることになる。つまりそのような整数 $a,b$ は存在しない。

$x^2-2=0$ という二次方程式を考える。

• $\sqrt{2}$ はこの二次方程式の解である。
• この方程式に有理数解があるとしたら，それは上記の定理より $\pm 1,\pm 2$ のいずれかだがどれも解でない。

以上により $\sqrt{2}$ は無理数。

$\sqrt{2}$ の正則連分数展開は $\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,\cdots]$ と無限に続く（注）ので上記の定理より $\sqrt{2}$ は無理数である。