方程式の有理数解

更新日時 2021/03/07

方程式の有理数解を見つける方法を解説します。

目次
  • 高次方程式と有理数解

  • 有理数解の見つけ方

  • 有理数解に関する補足

  • 定理の証明

高次方程式と有理数解

x3x2x2=0x^3-x^2-x-2=0

のような「整数係数多項式 =0=0」という方程式を考えます。左辺を f(x)f(x) と置きます。

高次方程式の解き方
  1. f(α)=0f\left(\alpha\right)=0 を満たす有理数 α\alpha頑張って見つける
  2. 左辺を (xα)\left(x-\alpha\right) で割る
  3. 二次方程式になるまで上記を繰り返す。二次方程式は解の公式か因数分解で解ける。
例1

x3x2x2=0x^3-x^2-x-2=0 を解こう。

  1. α=2\alpha=2 とすると,232222=02^3-2^2-2-2=0 なので f(α)=0f(\alpha)=0 になる。
  2. 左辺を (x2)(x-2) で割ると,(x2)(x2+x+1)(x-2)(x^2+x+1) なので,x=2x=2 が解の1つ。
  3. 二次方程式 x2+x+1=0x^2+x+1=0 の解は 1±3i2\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} であり残りの解も求まった。

このように,高次方程式を解くには f(α)=0f(\alpha)=0 となる有理数解 α\alpha を頑張って見つける必要があります。

有理数解の見つけ方

定理(有理数解の見つけ方)

整数係数多項式 =0=0 の形の方程式が有理数解 qp\dfrac{q}{p} を持つなら,

pp は最高次の係数の約数であり,qq は定数項の約数である。

定理の証明は記事の最後でします。

例1

x3x2x2=0x^3-x^2-x-2=0 を解くときに,さきほどは α=2=21\alpha=2=\dfrac{2}{1} を見つけた。実際,p=1p=1 は最高次の係数 11 の約数で,q=2q=2 は定数項 2-2 の約数になっている。

例2

4x32x2+6x3=04x^3-2x^2+6{x}-3=0 の有理数解を見つけよ。

例2の解答

有理数解の分母は 44 の約数で分子は 3-3 の約数なので,候補は x=±1,±3,±12,±32,±14,±34x=\pm 1,\pm 3,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{3}{4}

左辺にそれぞれ代入すると, x=12x=\dfrac{1}{2} が解であることが分かる。

有理数解に関する補足

  • 三次方程式の有理数解は(存在するなら)11 つまたは 33 つです(ただし,重解は複数個とカウントします)。 33 つ存在する場合は解の候補の中に正解が 33 つあるので比較的簡単ですが,上記の例たちのように正解が 11 つしか存在しない場合は運が悪いと多くの時間を消費してしまいます。次から次へと確認していきましょう。

  • 入試で出題される三次方程式は,ほぼ100%有理数解を持ちます。有理数解を持たない三次方程式は解くのが大変過ぎるからです。→カルダノの公式と例題
    というわけで, 有理数解を持たない三次方程式を解く必要が生じた場合,そこまでの課程で計算ミスをしている可能性が非常に高いです。四次以上の方程式の場合も同様です。

定理の証明

qp\dfrac{q}{p} を代入して分母を払うだけで簡単に証明できます。

証明

方程式 anxn+an1xn1++a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 について考える。

この方程式が有理数解 qp\dfrac{q}{p}ppqq は互いに素)を持つとき,もとの方程式に代入すると,

an(qp)n+an1(qp)n1++a1qp+a0=0a_n\left(\dfrac{q}{p}\right)^n+a_{n-1}\left(\dfrac{q}{p}\right)^{n-1}+\cdots +a_1\dfrac{q}{p}+a_0=0

両辺に pnp^n をかけると,

  • 第二項以降は全て pp の倍数になる。よって第一項 anqna_nq^npp の倍数となる。 ppqq は互いに素なので ana_npp の倍数となる。
  • 同様に最終項以外は全て qq の倍数になる。よって最終項 a0pna_0p^nqq の倍数となる。 ppqq は互いに素なので a0a_0qq の倍数となる。

ちなみに,この定理は三次・四次方程式を解くのに役立つだけでなく,整数問題でも頻出です。

有理数解が1つしかないときは直感が重要になります。

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