方程式の有理数解

有理数解の分母は $4$ の約数で分子は $-3$ の約数なので，候補は $$x=\pm 1,\pm 3,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{3}{4}$$

左辺にそれぞれ代入すると， $x=\dfrac{1}{2}$ が解であることが分かる。

方程式 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0$$ について考える。

この方程式が有理数解 $\dfrac{q}{p}$ （$p$ と $q$ は互いに素）を持つとき，もとの方程式に代入すると，

$$a_n\left(\dfrac{q}{p}\right)^n+a_{n-1}\left(\dfrac{q}{p}\right)^{n-1}+\cdots +a_1\dfrac{q}{p}+a_0=0$$

両辺に $p^n$ をかけると，

• 第二項以降は全て $p$ の倍数になる。よって第一項 $a_nq^n$ も $p$ の倍数となる。 $p$ と $q$ は互いに素なので $a_n$ が $p$ の倍数となる。
• 同様に最終項以外は全て $q$ の倍数になる。よって最終項 $a_0p^n$ も $q$ の倍数となる。 $p$ と $q$ は互いに素なので $a_0$ が $q$ の倍数となる。