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方程式の有理数解

更新日時 2021/03/07

定理:

整数係数多項式 =0=0 の形の方程式が有理数解 qp\dfrac{q}{p} を持つなら,

pp は最高次の係数の約数であり,qq は定数項の約数である。

このページでは,三次方程式の有理数解について述べたあと,上記の定理の証明を解説します。

この定理は三次,四次方程式を解くのに役立つだけでなく,整数問題にも頻繁に登場します。

目次
  • 三次方程式の有理数解についての考察

  • 定理の証明

三次方程式の有理数解についての考察

1:基本方針は,上記の定理と因数定理を用いて有理数解を発見します。

例1

x3x2x2=0x^3-x^2-x-2=0

解の候補は x=1,2,1,2x=1,2,-1,-2

左辺にそれぞれ代入すると因数定理より x=2x=2 が解であることが分かります。

例2

4x32x2+6x3=04x^3-2x^2+6{x}-3=0

解の候補は x=±1,±3,±12,±32,±14,±34x=\pm 1,\pm 3,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{3}{4}

左辺にそれぞれ代入すると因数定理より x=12x=\dfrac{1}{2} が解であることが分かります。

2:三次方程式の有理数解は(存在するなら)11 つまたは 33 つです(ただし,重解は複数個とカウントします)。 33 つ存在する場合は解の候補の中に正解が 33 つあるので比較的簡単ですが,上記の例たちのように正解が 11 つしか存在しない場合は運が悪いと多くの時間を消費してしまいます。次から次へと確認していきましょう。

3:入試で出題される三次方程式は,ほぼ100%有理数解を持ちます。有理数解を持たない三次方程式は解くのが大変過ぎるからです。→カルダノの公式と例題

というわけで, 有理数解を持たない三次方程式を解く必要が生じた場合,そこまでの課程で計算ミスをしている可能性が非常に高いのです。

四次以上の方程式の場合も同様です。

定理の証明

方針:解 qp\dfrac{q}{p} を代入して分母を払うだけで簡単に証明できます。

証明

方程式 anxn+an1xn1++a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 について考える。

この方程式が有理数解 qp\dfrac{q}{p}ppqq は互いに素)を持つとき,もとの方程式に代入すると,

an(qp)n+an1(qp)n1++a1qp+a0=0a_n(\dfrac{q}{p})^n+a_{n-1}(\dfrac{q}{p})^{n-1}+\cdots +a_1\dfrac{q}{p}+a_0=0

両辺に pnp^n をかけると,

  • 第二項以降は全て pp の倍数になる。よって第一項 anqna_nq^npp の倍数となる。 ppqq は互いに素なので ana_npp の倍数となる。
  • 同様に最終項以外は全て qq の倍数になる。よって最終項 a0pna_0p^nqq の倍数となる。 ppqq は互いに素なので a0a_0qq の倍数となる。

有理数解が1つしかないときは直感が重要になります。

Tag:いろいろな方程式の解き方まとめ

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