三角比・三角関数

$\sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\tan 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$

(i) $\sin x\leq x\qquad(x\geq 0)$

(ii) $\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}\qquad(x\in \mathbb{R})$

(iii) $\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\qquad(x\geq 0)$

(iiii) $\cos x\leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\qquad(x\in \mathbb{R})$

(i) $A+B+C=\pi$ のとき

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C$

(ii) $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}$

三倍角の公式 とは，$\theta$ の三角関数と $3\theta$ の三角関数の間に成り立つ以下の関係式のことです：

$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta$

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ , 外接円の半径を $R$ とするとき以下の式が成立する：

$r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

三角形の内角における和積・積和公式

$A+B+C=\pi$ のとき以下の関係式が成立する：

（$\sin$ 和積） $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$

（$\sin$ 積和） $\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

（$\cos$ 和積） $\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}+1$

（$\cos$ 積和） $\cos A\cos B\cos C=-\dfrac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1)$

四倍角の公式は加法定理から導ける，オイラーの公式（ド・モアブルの定理）からも導ける。

正弦定理とは，三角形において，

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

が成立するという定理です。ただし，$R$ は外接円の半径です。

オイラーの公式：

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\dfrac{x}{2^n}\right)=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{8}\cdots=\dfrac{\sin x}{x}$

定理1（チェビシェフ多項式）：

$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で表せる

（位相が等差数列なら）複素指数関数と等比数列の和の公式を用いて三角関数の和を計算することができる：

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\sin(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\cos(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\cos(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$

$\tan 1^{\circ}$ は有理数か？

$y=\sin x$ の逆関数を $y=\mathrm{Arcsin}x$ などと書き，逆三角関数と呼ぶ。

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ , $\mathrm{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x}$ , $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$

三角関数の合成公式とは，sin と cos が混ざった式を，sin だけで表すための，以下のような公式です。

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

三角関数の加法定理： 任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して

1． $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

2． $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

3． $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

4． $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

（さらに，$\alpha,\beta,\alpha\pm\beta$ の $\tan$ が存在するとき，）

5． $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

6． $\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$\sin x$ および $\cos x$ は微分すると位相が90度進む。積分すると位相が90度遅れる。

三角関数の積和公式：

1． $\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$

2． $\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

3． $\cos A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

正接定理：三角形 $ABC$ において，

$\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}=\dfrac{a-b}{a+b}$

2倍角の公式：

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\ =2\cos^2\theta-1\\ =1-2\sin^2\theta$

$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

1. $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

2. $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

3. $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

タンジェントの加法定理：

（$\tan$ の中身が全て $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍でないような任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して）

$\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2 \end{array} \right), ~ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2 \end{array} \right)$ としたとき，三角形 $OAB$ の面積 $S$ は以下のように表せる。

$$S = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{a}\|^2\|\overrightarrow{b}\|^2 - \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right)^2}\tag{1}$$ $$S = \dfrac{1}{2}| a_1b_2 - a_2b_1| \tag{2}$$