三角比・三角関数
タンジェントの美しい関係式(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)
(i) のとき
(ii) のとき
三倍角の公式:基礎からおもしろい発展形まで
三倍角の公式 とは, の三角関数と の三角関数の間に成り立つ以下の関係式のことです:
このページでは,三倍角の公式の証明,応用例についてわかりやすく解説します。
位相が等差数列である三角関数の和の公式
(位相が等差数列なら)複素指数関数と等比数列の和の公式を用いて三角関数の和を計算することができる:
三角関数の和を求めるタイプの問題に対するかなり万能な方法です。
三角関数の3通りの定義とメリットデメリット
三角関数は図形問題にはもちろんのこといろいろな分野に登場する重要な関数です。以下,三角関数の定義を3通り解説しますが2つめまでは理解して自分でも説明できるようになっておきましょう。
tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明
は有理数か?
非常に有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。
有理数であることか無理数であることを証明せねばなりません。2つの方針のうち一方しかうまくいかないので, この手の問題でどちらの道を選ぶかは自分の直感に頼らざるを得ません。
実は無理数であることを証明するのがうまくいきます。
直感が優れている人は は汚そうな数なので無理数だろうと当たりをつけますが,直感が外れた人は余分な時間がかかってしまいます。
逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質
の逆関数を などと書き,逆三角関数と呼ぶ。
逆三角関数のきちんとした定義,グラフ,微分公式などを解説します。
加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法)
三角関数の加法定理: 任意の実数 に対して
1.
2.
3.
4.
(さらに, の が存在するとき,)
5.
6.
三角関数を微分すると位相が90度進むこと
および は微分すると位相が90度進む。積分すると位相が90度遅れる。
三角関数の微分,積分と位相の進み,遅れについて。交流回路への応用を見据えて。
三角関数の相互関係とその証明
三角関数 の間には,上記のような3つの関係式が成立します。これらの関係式のことを, 三角関数の相互関係と言います。
このページでは,三角関数の相互関係の証明を2通り解説します。
タンジェントの加法定理とその拡張
タンジェントの加法定理:
( の中身が全て の奇数倍でないような任意の実数 に対して)
前半は教科書内容,後半は発展的な内容(美しい!)です。
三角関数の微分公式と問題例
この記事では,三角関数サイン・コサイン・タンジェントに関する公式の簡単な証明,その公式を使った問題例について解説します。
三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式
としたとき,三角形 の面積 は以下のように表せる。
ベクトルや座標平面上に表された三角形の面積を表す公式について,証明とその利用例を解説します。
和積公式の覚え方と証明:覚えるべきか毎回導出すべきか?
三角関数の「和」を「積」に変換する公式です。
和積公式は4つもあって覚えるのが大変です。丸暗記したほうがよいという人と毎回導出したほうがよいという人で意見が別れるところです。この記事では,「暗記する作戦」と「導出する作戦」それぞれについて詳しく説明します。
三角関数 (sin,cos,tan) の極限まとめ
この記事では主要な三角関数の極限公式を紹介します。
三角関数の微分係数の計算などに応用されるので,考え方も含めてしっかり勉強していきましょう。
sin、cos、tan の意味
(図のように を含む直角三角形を描いたもとで)
- とは 対辺の長さ/斜辺の長さ のこと
- とは 底辺の長さ/斜辺の長さ のこと
- とは 対辺の長さ/底辺の長さ のこと
sin, cos, tan(三角比・三角関数)について基礎からわかりやすく説明します。
京大2023大問6とチェビシェフ多項式
を 以上の素数, を実数とする。
- と を の式として表せ。
- のとき, となるような正の整数 が存在するか否かを理由を付けて説明せよ。
京大入試の問題を解説します。背景となる「チェビシェフ多項式」を知っているとかなり有利な問題です。