三角比・三角関数

正弦定理とは，三角形において，

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

が成立するという定理。ただし，

• $A,B,C$ は3つの内角の大きさ。
• $a=BC,b=CA,c=AB$ は3辺の長さ。

三角関数とは，以下で定義される $\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta$ のことです。

• $\sin\theta$ とは，単位円上の角度 $\theta$ に対応する点の $y$ 座標

• $\cos\theta$ とは，単位円上の角度 $\theta$ に対応する点の $x$ 座標

• $\tan\theta$ とは，$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ のこと

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

ただし，$\alpha$ は図のように $(a,b)$ に対応する角度。つまり「$x$ 軸の正の部分を反時計回りにいくら回転したら $(a,b)$ を通るか」を表す角度。つまり，$$\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ を満たす。

任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して

1. $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

2. $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

3. $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

4. $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

5. $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

6. $\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

ただし，5,6は $\tan\alpha,\tan\beta,\tan(\alpha\pm\beta)$ が定義できる場合における式。

1. $\sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$

2. $\sin A\sin B=\dfrac{1}{2}\{-\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

3. $\cos A\cos B=\dfrac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$

〜 $90^{\circ}-\theta$（余角）の公式〜

• $\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$
• $\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
• $\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$

〜 $90^{\circ}+\theta$ の公式〜

• $\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta$
• $\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$
• $\tan(90^{\circ}+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$

〜 $180^{\circ}-\theta$（補角）の公式〜

• $\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
• $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$
• $\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta$

〜 $180^{\circ}+\theta$ の公式〜

• $\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$
• $\cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta$
• $\tan(180^{\circ}+\theta)=\tan\theta$

〜 $360^{\circ}+\theta$ の公式〜

• $\sin(360^{\circ}+\theta)=\sin\theta$
• $\cos(360^{\circ}+\theta)=\cos\theta$
• $\tan(360^{\circ}+\theta)=\tan\theta$

〜$-\theta$（負角）の公式〜

• $\sin(-\theta)=-\sin\theta$
• $\cos(-\theta)=\cos\theta$
• $\tan(-\theta)=-\tan\theta$

2倍角の公式は，$2\theta$ の三角関数を $\theta$ の三角関数で表す以下の公式です。

1. $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

2. $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

3. $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

4. $1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$

$y=\tan x$ のグラフは図のようになる。

$\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

（ただし，$\tan$ の中身が全て $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍にならないものとする）

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

三角方程式とは，

$$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

ような三角関数を含む方程式のことです。

円周上にある3点 $A,B,C$ を頂点とする三角形 $ABC$ について，1辺が円の直径と一致するなら，$ABC$ は直角三角形。

単位円とは，原点を中心とする半径1の円のこと。

• $y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x$ のグラフの形は覚える
• $y=\sin x$ と $y=\cos x$ は同じ形で，片方を $\dfrac{\pi}{2}$ 平行移動すると重なる
• $y=\sin x$ と $y=\cos x$ の周期は $2\pi$，$y=\tan x$ の周期は $\pi$

三角形 $\mathrm{ABC}$ において，

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\ b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B\\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

が成り立つ。

なお，頂点 $\mathrm{A}$ に対応する角を $A$，頂点 $\mathrm{B}$ に対応する角を $B$，頂点 $\mathrm{C}$ に対応する角を $C$ としている。

（図のように $\theta$ を含む直角三角形を描いたもとで）

• $\sin \theta$ とは 対辺の長さ/斜辺の長さ のこと
• $\cos \theta$ とは 底辺の長さ/斜辺の長さ のこと
• $\tan \theta$ とは 対辺の長さ/底辺の長さ のこと

半角の公式は，$\dfrac{\theta}{2}$ の三角関数を $\theta$ の三角関数で表す公式： $$\begin{aligned} \sin^2 \dfrac{\theta}{2} &= \dfrac{1-\cos \theta}{2}\\ \cos^2 \dfrac{\theta}{2} &= \dfrac{1+\cos \theta}{2}\\ \tan^2 \dfrac{\theta}{2} &= \dfrac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \end{aligned}$$

$0 <\theta < 90^{\circ}$ を満たす $\theta$ に対して

$\angle A=\theta, \angle B=90^{\circ}$ となる直角三角形を描き，

$\sin\theta=\dfrac{BC}{AC}$，$\cos\theta=\dfrac{AB}{AC}$，$\tan\theta=\dfrac{BC}{AB}$ と定義する。

弧度法とは「半径が $1$ で弧の長さが $L$ である扇形の中心角を $L$ ラジアンとする」ような角度の表し方。

三角形 $ABC$ において， $$\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}=\dfrac{a-b}{a+b}$$

サイコロを3回振り，出た目を順に $a,b,c$ とする。$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cos \dfrac{\pi}{c}$ とおく。

(1) $2 \cdot \dfrac{\pi}{5} = \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5}$ を用いることで $\sin \dfrac{\pi}{5}$ を求めよ。

(2) $S=0$ となる確率を求めよ。

(3) $S$ が整数となる確率を求めよ。

(4) $S$ が有理数となる確率を求めよ。

$$\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$$

$$\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$$

$$\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$$

$$\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$$

$x=g(t)$ と置換すると， $$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$ である。

$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で表せる。

（位相が等差数列なら）三角関数の和を計算できる：

$$\sum_{k=0}^n \sin(\theta+k\phi) = \dfrac{\sin \left( \frac{(n+1)\phi}{2} \right) \sin \left( \theta+\frac{n\phi}{2} \right)}{\sin\frac{\phi}{2}}\\ \sum_{k=0}^n \cos (\theta+k\phi) = \dfrac{\sin \left( \frac{(n+1)\phi}{2} \right) \cos \left( \theta+\frac{n\phi}{2} \right)}{\sin\frac{\phi}{2}}$$

逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)とは，三角関数 $\sin x,\cos x,\tan x$ の逆関数のことです。

$p$ を $3$ 以上の素数，$\theta$ を実数とする。

1. $\cos 3\theta$ と $\cos 4 \theta$ を $\cos \theta$ の式として表せ。
2. $\cos \theta = \dfrac{1}{p}$ のとき，$\theta = \dfrac{m}{n} \cdot \pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由を付けて説明せよ。

$\triangle \mathrm{ABC}$ があり $\angle \mathrm{A} = \dfrac{5}{18} \pi$，$\angle \mathrm{B} = \dfrac{5}{9}\pi$，$\angle \mathrm{C} = \dfrac{\pi}{6}$ である。辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{6}$ を取り $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{AC}$ に下した垂線との交点を $\mathrm{H}$ とし $\mathrm{BH}$ と $\mathrm{AD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とする。

1. $\dfrac{\tan \dfrac{5}{18} \pi \tan \dfrac{7}{18} \pi}{\tan \dfrac{\pi}{3} \tan \dfrac{4}{9} \pi}$ を求めよ。
2. $\angle \mathrm{CEH}$ を求めよ。

$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta$
$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$, 外接円の半径を $R$ とするとき，

1. $r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$
2. $R\geqq 2r$（オイラーの不等式）

$A+B+C=\pi$ のとき以下が成立する：

• $\sin$ 和積：
  $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$

• $\sin$ 積和：
  $\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

• $\cos$ 和積：
  $\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}+1$

• $\cos$ 積和：
  $\cos A\cos B\cos C=-\dfrac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1)$

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\dfrac{x}{2^n}\right)=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{8}\cdots=\dfrac{\sin x}{x}$

可積分関数 $f(x)$ のフーリエ変換（Fourier transform）$\hat{f} (\xi)$ を $$\hat{f} (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx$$ と定める（可積分関数とは $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty$ を満たす関数のこと）。

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$$