単位円の意味・三角比との関係

有名角に対応する点を単位円上にプロットしてみます。

(1) $120^{\circ}=\dfrac{2}{3}\pi$ に対応する点の $y$ 座標が $\sin 120^{\circ}$ である。$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形を考えると，$\sin120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

(2) $\cos150^{\circ}$ は $\cos30^{\circ}$ と　$x$ 軸について対称であるから $150^{\circ}=\dfrac{5}{6}\pi$ に対応する点の $x$ 座標が $\cos 150^{\circ}$ である。$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形を考えると，$\cos150^{\circ}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

(3) $-\sqrt{3}$

(4) $1$

(5) $0$

角度が $\theta$ のときの直角三角形と比べると，$-\theta$ のときの直角三角形は $x$ 軸について対称です。

つまり

(1)　$y$ 座標は $-1$ 倍されるので，$\sin(-\theta)=-\sin\theta$

(2)　$x$ 座標はそのままなので，$\cos(-\theta)=\cos\theta$

(3)　傾きは $-1$ 倍されるので，$\tan(-\theta)=-\tan\theta$

例題1と同じように角度が $\theta$ のときの直角三角形と比べると， $180^{\circ}-\theta$ のときの直角三角形は $y$ 軸について対称であり，$180^{\circ}+\theta$ のときの直角三角形は原点について対称です。

つまり答えは

(1) $\sin (180^{\circ}\pm \theta)=\mp\sin\theta$

(2) $\cos (180^{\circ}\pm \theta)=-\cos \theta$

(3) $\tan (180^{\circ}\pm \theta)=\pm\tan \theta$

(複号同順)

同様に考えると，答えは

(1) $\sin (270^{\circ} \pm \theta)=-\cos \theta$

(2) $\cos (270^{\circ} \pm \theta)=\pm\sin \theta$

(3) $\tan (270^{\circ} \pm \theta)=\mp\dfrac{1}{\tan\theta}$

(複号同順)