解決済み

aaを正の整数、p,qp,qを素数とする(p<qp<q)

2a+pq=qp2^a+p^q=q^p

を満たす組(a,p,qa,p,q)を求めよ、解答を作ってくださいお願いします

ベストアンサー

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2a>02^a > 0 から、qp=2a+pq>pqq^p = 2^a + p^q > p^q つまり logqq>logpp\dfrac{\log q}{q} > \dfrac{\log p}{p}

logxx\dfrac{\log x}{x}xe=2.71x \ge e = 2.71\cdots で狭義単調減少だから、q>p3q > p \ge 3 でこの不等式は成立不可能。

よって q>p=2q > p = 2


2a+2q=q22^a + 2^q = q^2 の左辺は偶数、右辺は奇素数 q>2q > 2 の平方つまり奇数だから、この等式は成立不可能。


条件を満足する (a,p,q)(a,p,q) は存在しない。

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