ガウス整数とその応用

$a^2+b^2=c^2$ は

$(a+bi)(a-bi)=c^2$

と変形できる。 $(a+bi)$ と $(a-bi)$ は互いに素（→補足1）であり，それらの積が平方数なので，両方とも平方数（に $\pm 1,\pm i$ のいずれかをかけたもの）である（→補足2）。

$(a+bi)$ が平方数である場合を考える。このとき，整数 $m,n$ を用いて，

$(a+bi)=(m+ni)^2=m^2-n^2+2mni$ とおける。つまり，

$a=m^2-n^2,b=2mn$

となる。さらに，$c=m^2+n^2$ となる。

（$b > 0$ より $m,n$ は同符号。さらに $(m+ni)^2=(-m-ni)^2$ より）$m,n$ は正の整数に取れる。

なお，$(a+bi)$ が平方数 $\times (-1)$ のときは $m$ と $n$ の役割が入れ替わるだけで同じ形の式が得られる。

$(a+bi)$ が平方数 $\times (\pm i)$ のときは $a$ と $b$ の役割が入れ替わる。

背理法で証明する。 $(a+bi)$ と $(a-bi)$ がともに $d\:(\neq \pm 1,\pm i)$ の倍数とすると，和と差を取ることにより，$2a$ と $2bi$ も $d$ の倍数であることが分かる。

$a$ と $b$ は互いに素なものを考えているので，$d=2$ （または $-2,\pm 2i$ ）

このとき，$(a+bi)(a-bi)$ が $4$ の倍数，つまり $c$ が偶数となる。これは矛盾（$4$ で割った余りを考えることにより $c$ は奇数であることが必要→平方剰余）。

ここでガウス整数における「素因数分解の一意性」を使っています。