環の定義とその具体例 | 高校数学の美しい物語

定義

群の場合と同様に，環は「適切な性質を満たす集合と演算の組」として定義されます。

定義

環（単位的環）とは，集合 $R$ とその上の2つの二項演算 $+, \cdot$ の組 $(R, +, \cdot)$ であって，以下の条件を満たすもののことである。

組 $(R, +)$ はアーベル群である。つまり，

任意の $a, b, c \in R$ に対して $(a + b) + c = a + (b + c)$
ある元 $z \in R$ が存在して，任意の $a \in R$ に対して $a + z = z + a = a$ を満たす。
任意の $a \in R$ に対して $b + a = a + b = z$ を満たす $b \in R$ が存在する。
任意の $a, b \in R$ に対して $a + b = b + a$

組 $(R, \cdot)$ はモノイドである。つまり，

任意の $a, b, c \in R$ に対して $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
ある $u \in R$ が存在して，任意の $a \in R$ に対して $a \cdot u = u \cdot a = a$ を満たす。

$\cdot$ は $+$ に対して分配的である。つまり，

任意の $a, b, c \in R$ に対して $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \\ (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$

これらに加えて，

二項演算 $\cdot$ は可換である。つまり，

8.　任意の $a, b \in R$ に対して $a \cdot b = b \cdot a$

を満たすものを可換環という。

二項演算 $+, \cdot$ をそれぞれ和（加法），積（乗法）といいます。また，条件の中の $z, u \in R$ をそれぞれ $0, 1$ と書き，加法単位元，乗法単位元といいます。そして条件3. の $b$ を $-a$ と書きます。

具体例

定義をみてもよくわからないので，具体例を見てみます。

典型的な例

環，特に可換環の中で最も重要で典型的な例は整数と多項式です。

例：（有理）整数環

整数全体の集合 $\mathbb{Z} = \{\dots , -1, 0, 1, 2, \dots\}$ と整数の普通の和 $+$ ，積 $\cdot$ の組 $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ は可換環です。これを（演算を省略して）単に $\mathbb{Z}$ と書き，（有理）整数環といいます。

例：多項式環

複素数を係数にもつ $x$ の多項式全体の集合 $\mathbb{C} [x]$ と多項式の普通の和 $+$ ，積 $\cdot$ の組 $(\mathbb{C} [x], +, \cdot)$ は可換環です。これをやはり $\mathbb{C} [x]$ と書き， $\mathbb{C}$ 係数（一変数）多項式環といいます。

（係数は複素数でなくても良いです。例えば有理数係数の多項式環 $\mathbb{Q} [x]$ , 実数係数の多項式環 $\mathbb{R} [x]$ などいろいろ考えられます。）

可換環の理論はこの２つの環を雛形としていると言えるかもしれません。環論の難しそうな概念に対しては，これらの環の場合で考えてみることが理解のための第一歩となります。

その他の可換環

例

１つの元からなる集合 $\{ a \}$ 上の二項演算 $+, \cdot$ を次のように定めると可換環になります。 $a + a = a \\ a \cdot a = a$ これを零環といい， $0$ と書きます。
有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ と有理数の普通の和 $+$ ，積 $\cdot$ の組 $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ は可換環です。
区間 $[0, 1]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C([0, 1])$ に二項演算 $+, \cdot$ を次のように定めると可換環になります。 $(f + g)(x) = f(x) + g(x) \\ (f \cdot g)(x) = f(x)g(x)$
$n$ 個の変数 $x_1, \dots x_n$ についての複素数係数多項式全体の集合 $\mathbb{C} [x_1, \dots x_n]$ は多項式の和，積によって可換環になります。
例えば $x$ と $y$ の多項式 $x^2 + y^2 -1$ は環 $\mathbb{C} [x, y]$ の元です。
整数を複素数に拡張したガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環もおもしろいです。

mod 演算の正当化

例

集合 $\{0, 1, 2\}$ 上の二項演算 $+, \cdot$ を次のように定めると可換環になります。

$a + b= (a + b$ を $3$ で割った余り $)$
$a \cdot b= (a \cdot b$ を $3$ で割った余り $)$

（右辺の $+, \cdot$ は整数だと見たときの和，積）

例えば $0 + 1 = 1, 1 + 2 = 0, 2 \cdot 2 = 1$ です。これは「 $\mathrm{mod}\:3$ での整数の計算」を表したものだと考えられます。この環を $\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}$ と書きます。

$3$ の代わりに $n$ で同様のことをすれば「 $\mathrm{mod}\:n$ での整数の計算」を表す環 $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ ができます。この mod 演算（合同式）の考え方は $\mathbb{Z}$ 以外の環でも展開できて，（両側）イデアルと剰余環の概念を与えます。

非可換環

可換でない環（非可換環）の典型的な例としては，正方行列のなす環と四元数体があります。

例

実数値 $n \times n$ 行列全体の集合 $M_n(\mathbb{R})$ と行列の和 $+$ , 行列の積 $\cdot$ の組は（ $n > 1$ のとき非可換な）環になります。→行列の積の定義とその理由
四元数全体の集合 $\mathbb{H}$ と四元数の普通の和，積の組は非可換環になります。これを四元数体といいます。→四元数と三次元空間における回転

例えば $2 \times 2$ 行列

$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$

の積は

$AB = \left( \begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{array} \right), BA = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right)$

となるので可換ではありません。

他にも微分作用素のなす環や群から作られる「群環」などが，可換とは限らない環の例を与えます。

数学の他分野との関わり

環論と関わりを持つ数学の分野，理論として例えば代数的整数論や代数幾何学などがあります。

代数的整数論は，整数やその一般化である「代数的整数」について，環論を含めた代数学の方法を使って研究する分野です。 $\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Q}$ のような環と深いつながりを持っています。
代数幾何学は，（ざっくりいうと）多項式で定義される図形（例えば単位円 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ など）について代数学を使って研究する分野です。こちらは多項式環と密接な関係にあります。

環は，これらの他にもさまざまな分野で登場します。

よりアドバンスドなことは環の基礎用語～準同型・部分環・イデアル～をご覧ください。

環は英語で “Ring” といいます。ちなみに「輪（りん）」という数学用語もあります（こっちの方が Ring っぽい）。