直交行列の５つの定義と性質の証明

「積の行列式＝行列式の積」なので，

$$\begin{aligned} 1 &= \det I\\ &=\det (UU^{-1})\\ &=\det U\det U^{-1} \end{aligned}$$

ここで，直交行列の定義1より，上式は

$$\det U\det U^{\top}$$

と等しい。さらに，$\det U=\det U^{\top}$ を使うと，結局 $1=(\det U)^2$ である。

よって $\det U=\pm 1$ を得る。

直交行列の定義1〜3を使う。

$U$ が直交行列

→ $U$ の列ベクトルが正規直交基底をなす

→ $U^{\top}$ の行ベクトルが正規直交基底をなす

→ $U^{-1}$ の行ベクトルが正規直交基底をなす

→ $U^{-1}$ が直交行列

直交行列 $U$ の固有値を $\lambda$，固有ベクトルを $x (\neq \boldsymbol{0})$ とする。このとき， $$\begin{aligned} Ux &= \lambda x\\ \therefore \|Ux\| &= \|\lambda x\| = |\lambda| \|x\| \end{aligned}$$ ここで，直交行列の定義4(※)より $$\|Ux\| = \|x\|$$ であるから，2式より $$\|x\| = |\lambda| \|x\|$$

$\|x\| \neq 0$ より， $$|\lambda| = 1$$

$$\| UU' x \| = \| U'x \| = \| x \|$$ より従う。

$U$ の第 $i$ 行（横ベクトル）を $u_i^{\top}$ とおくと，$UU^{\top}$ の $ij$ 成分は $u_i^{\top} u_j$ となる。よって，1と2の条件はいずれも $u_i^{\top} u_j$ が $i=j$ のとき $1$，$i\neq j$ のとき $0$ であることを表している。

1と2が同値であることの証明とほぼ同じ（$U^{\top}U=I$ を考える）。

$Ux$ と $Uy$ の内積は，$x^{\top}U^{\top}Uy$

であり，$U^{\top} U=I$ なのでこれは $x$ と $y$ の内積と一致する。

5で $y=x$ とすると $\|Ux\|^2=\|x\|^2$，つまり $\|Ux\|=\|x\|$

$U$ の $i$ 列目を $u_i$ とおく。

$x=e_i$ （第 $i$ 成分が $1$ で残りが $0$ であるような縦ベクトル）を4に入れると $\|u_i\|=1$ が分かる。次に $x=e_i+e_j\:(i\neq j)$ を4に入れると $\|u_i+u_j\|=\sqrt{2}$ が分かる。両辺二乗すると，$u_i\cdot u_j=0$ が分かる。