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スカラー三重積とベクトル三重積

更新日時 2021/03/07

3つの空間ベクトル a,b,ca,b,c に対して

a(b×c)a\cdot (b\times c) をスカラー三重積,

a×(b×c)a\times (b\times c) をベクトル三重積と言う。

目次
  • 三重積について

  • スカラー三重積の性質

  • ベクトル三重積の性質

三重積について

内積はスカラー,2つのベクトルの外積はベクトルです。→内積と外積の意味と嬉しさ

よって,a(b×c)a\cdot (b\times c) はスカラー,a×(b×c)a\times (b\times c) はベクトルです。

スカラー三重積の性質

以下では a=(ax,ay,az)a=(a_x,a_y,a_z)b=(bx,by,bz)b=(b_x,b_y,b_z)c=(cx,cy,cz)c=(c_x,c_y,c_z) とします。まずはスカラー三重積を成分表示してみます。

a(b×c)=axbyczaxbzcy+aybzcxaybxcz+azbxcyazbycxa\cdot (b\times c)=a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x

導出

b×c=(byczbzcy,bzcxbxcz,bxcybycx)b\times c=(b_yc_z-b_zc_y,b_zc_x-b_xc_z,b_xc_y-b_yc_x)

aa の内積を計算すればよい。

成分表示から以下のことが分かります:

  • a(b×c)=det(axayazbxbybzcxcycz)a\cdot (b\times c)=\det\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{pmatrix} これは行列式の定義から分かります。

  • サラスの公式と合わせると,a(b×c)a\cdot (b\times c)a,b,ca,b,c が張る平行六面体の(向き付き)体積を表すことが分かります。

  • a(b×c)=b(c×a)=c(a×b)a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)=c\cdot (a\times b) が成立します。なお,a(b×c)=a(c×b)a\cdot (b\times c)=a\cdot (c\times b) などは成立しません(1-1 倍される)。

ベクトル三重積の性質

a×(b×c)=(ac)b(ab)ca\times (b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c

b×cb\times cbbcc に垂直なベクトルです。そして a×(b×c)a\times (b\times c)b×cb\times c に垂直なベクトルなので,結局 a×(b×c)a\times (b\times c)bbcc が定める平面内のベクトルになります。

以上の考察から,ある実数 p,qp,q が存在して a×(b×c)=pb+qca\times (b\times c)=pb+qc であることは分かります。実は p=acp=a\cdot cq=abq=-a\cdot b であるというのが上の定理の主張です。

証明

上の等式の左辺の xx 成分は,

ay(b×c)zaz(b×c)y=ay(bxcybycx)az(bzcxbxcz)=aybxcyaybycxazbzcx+azbxcza_y(b\times c)_z-a_z(b\times c)_y\\ =a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z)\\ =a_yb_xc_y-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x+a_zb_xc_z

(そんなにきれいな式ではない)

右辺の xx 成分は,

(axcx+aycy+azcz)bx(axbx+ayby+azbz)cx=aybxcy+azbxczaybycxazbzcx(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_x-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_x\\ =a_yb_xc_y+a_zb_xc_z-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x

となり一致する。 yy 成分,zz 成分についても同様。

また,上の公式および,順番を入れ替えた式:

a×(b×c)=(ac)b(ab)ca\times (b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c

b×(c×a)=(ba)c(bc)ab\times (c\times a)=(b\cdot a)c-(b\cdot c)a

c×(a×b)=(cb)a(ca)bc\times (a\times b)=(c\cdot b)a-(c\cdot a)b

を足し合わせることで,

a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0undefineda\times (b\times c)+b\times (c\times a)+c\times (a\times b)=\overrightarrow{0}

が分かります。

けっこうきれいですが,個人的にはあまり使わない公式です。

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