スカラー三重積とベクトル三重積

スカラー三重積を成分表示すれば1～3がすべてわかる。

$$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=(b_yc_z-b_zc_y,b_zc_x-b_xc_z,b_xc_y-b_yc_x)$$

と $\overrightarrow{a}$ の内積を計算すると， $$\begin{aligned} \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}) &= a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x\\ & \quad -a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x \end{aligned}$$ となる。

• 性質1は，上記の成分表示と行列式の定義から分かる。
• 性質2は，上記の成分表示とサラスの公式から分かる。
• 性質3は，上記の成分表示から分かる。

上の等式の左辺の $x$ 成分は，

$$\begin{aligned} &a_y(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})_z-a_z(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})_y\\ &= a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z)\\ &= a_yb_xc_y-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x+a_zb_xc_z \end{aligned}$$ （そんなにきれいな式ではない）

右辺の $x$ 成分は，

$$\begin{aligned} &(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_x-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_x\\ &= a_yb_xc_y+a_zb_xc_z-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x \end{aligned}$$

となり一致する。 $y$ 成分，$z$ 成分についても同様。

性質1および，順番を入れ替えた式：

• $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$
• $\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}$
• $\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}$

を足し合わせることで，性質2： $$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{0}$$ が分かる。