行列の固有値・固有ベクトルの定義と具体的な計算方法

固有値・固有ベクトルは行列が登場するあらゆるところに顔を出す非常に重要な概念です。

そのため，大学の講義の期末試験，工学系の大学院入試，数学検定1級などでは固有値，固有ベクトルを求めさせる問題が頻出です。

固有空間の定義

固有値と固有ベクトルに関連する概念として，「固有空間」があります。

つまり，固有空間とは同じ固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルを集めた集合です。ただし，ゼロベクトルも固有空間の元です。

固有値，固有ベクトルを計算するために必要となる定理を解説します。以下を理解するには行列式（$\det$）に関する知識が必要です。→行列式の3つの定義と意味

$\det(A-\lambda I)=0$ を $A$ の特性方程式（固有方程式）と言います。

$n$ 次方程式の解は（重複度込みで）$n$ 個ある（→代数学の基本定理とその初等的な証明）ので $n$ 次正方行列の固有値は（重複度込みで）$n$ 個あることが分かります。

実際に固有値，固有ベクトルを求めたいときには，

step1：特性方程式 $\det(A-\lambda I)=0$ を解いて固有値を求める。

step2：その各々の解に対して $(A-\lambda I)\overrightarrow{x}=0$ を満たす $\overrightarrow{x}\neq \overrightarrow{0}$ を求める。

ということをします。step1でもstep2でも方程式を解かないといけないのでけっこうめんどうです。具体的に計算させる問題としては，$n=3$ の場合が頻出です。

計算練習にどうぞ！

• $A-\lambda I=\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1\\ 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}$
  より特性方程式は，$(3-\lambda)(2-\lambda)-2=0$
  これを解くと $\lambda=1, 4$ となり固有値が求まった。

• $\lambda=1$ に対応する固有ベクトルは，
  $(A-I)\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 2&1\\ 2&1\end{pmatrix}\overrightarrow{x}=0$
  の解なので固有ベクトルは $\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\:$ （の定数倍）

• $\lambda=4$ に対応する固有ベクトルは，
  $(A-4I)\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-2\end{pmatrix}\overrightarrow{x}=0$
  の解なので固有ベクトルは $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\:$ （の定数倍）

※三次以上でも同様です。三次の場合，特性方程式が三次方程式になる＆固有ベクトルを三本求めるために三回連立方程式を解かないといけないのでかなりめんどうです。しかしながら各種試験では平気で出題されるのでできるようにしておきましょう。

• $\overrightarrow{x}$ が固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルのとき，$k\overrightarrow{x}\:(k\neq 0)$ も固有ベクトルです。そのため，固有ベクトルで重要なのは方向のみです。反対向き（$k<0$ の場合）含め，長さは自由に決められます。

• なお，上記の手順だけでは不十分な場合（$A$ が対角化できない場合）も稀に登場します。しかし，実際工学的に登場する行列はほとんどが対角化できる＆対角化できない場合を厳密に議論するのはけっこうめんどうなので省略します。特性方程式が重解を持たない場合は問題なしです！

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