半正定値行列の同値な４つの定義（性質）と証明

性質1〜4のどれを確認してもよい。ここでは勉強のために四通りの解法を示す。

性質1：二次形式 $4x^2+4xy+y^2\geq 0$ を示せばよいが，左辺は $(2x+y)^2$ となりOK

性質2：固有方程式は $\lambda^2-5\lambda=0$ ，固有値は $0,5$ となり非負

性質3： $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&0\end{pmatrix}$ とすれば $A=U^{\top}U$ となる。

性質4：主小行列式は $4,1,0$ となり非負。

3通りの方法で証明できる。

• (性質1：)$\overrightarrow{x}^{\top}S^{\top}AS\overrightarrow{x}=(S\overrightarrow{x})^{\top}A(S\overrightarrow{x})\geq 0$

• (性質2：)合同変換で固有値の符号は不変。→シルベスターの慣性法則の意味と証明

• (性質3：)$A=U^{\top}U$ なら $S^{\top}AS=(US)^{\top}A(US)$

$A$ は対称行列なので，直交行列 $P$ と実対角行列 $D$ を用いて $A=P^{\top}DP$ と対角化できる。 $D$ の対角成分には $A$ の固有値 $\lambda_i$ が並ぶ。

よって，二次形式の値は $P\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ とおくと，

$\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}=(P\overrightarrow{x})^{\top}D(P\overrightarrow{x})\\ =\overrightarrow{y}^{\top}D\overrightarrow{y}\\ =\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2$

• 性質1→性質2
  $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{e}_i$ （第 $i$ 成分が $1$ でそれ以外 $0$ であるベクトル）となるように，$\overrightarrow{x}=P^{\top}\overrightarrow{e}_i$ とおけば $\lambda_i\geq 0$ を得る。

• 性質2→性質1
  $\lambda_i\geq 0$ のとき二次形式は非負となる。

$A=U^{\top}U$ と書けるとき，二次形式は以下のように非負となる：

$\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}=(U\overrightarrow{x})^{\top}(U\overrightarrow{x})\\ =\|U\overrightarrow{x}\|^2\geq 0$

さきほどの対角化した式： $A=P^{\top}DP$ において，$D$ の対角成分は非負なので，それぞれの平方根を取った実行列 $D^{\frac{1}{2}}$ を持ってこれる。このとき，$A=(D^{\frac{1}{2}}P)^{\top}D^{\frac{1}{2}}P$ となりOK。

$A$ の任意の主小行列を $B$ とする。

$A$ の二次形式が非負なので，$B$ の二次形式も非負である。よって（性質1と性質2の同値性から）$B$ の固有値は全て非負。行列式は全固有値の積なので，$B$ の行列式は非負。