逆行列の定義・逆行列を求める２通りの方法と例題

逆行列が存在する性質の良い行列を，正則行列と呼びます。

つまり，$A$ は正則行列です。一方，全ての正方行列に対し，必ず逆行列が存在するとは限りません。例えば $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ については，何をかけても $O$ のままなので，逆行列は存在しません。つまり，$O$ は正則行列ではありません。

以下では，いろいろな逆行列の求め方を解説します。

2×2の場合は覚えれば大丈夫です。高校数学の旧課程では重要な公式でした。

ちなみに，$ad-bc = 0$ のときは $A$ には逆行列が存在しません。

2×2行列の逆行列の公式を用いた例題

以下，一般の $n\times n$ の正方行列の逆行列を求める二通りの方法を解説します（具体例は3×3の場合のみ）。

単位行列を $I$ とします。

行基本変形とは以下の三つの操作です。

• 操作1：ある行を定数倍する
• 操作2：二つの行を交換する
• 操作3：ある行の定数倍を別の行に加える

掃き出し法を実際にやってみます！

$(A\:I)=\begin{pmatrix}1&1&-1&1&0&0\\-2&0&1&0&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{pmatrix}$

行基本変形を適用して左半分を $I$ にするのが目標。まず一列目を見て，1行目の2倍を2行目に加える：

$\begin{pmatrix}1&1&-1&1&0&0\\0&2&-1&2&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{pmatrix}$

次に，二列目（の第2成分以外）に $0$ を並べるように操作3を行う：

$\begin{pmatrix}1&0&-\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&0\\0&2&-1&2&1&0\\0&0&2&-2&-1&1\end{pmatrix}$

同様に，三列目（の第3成分以外）に $0$ を並べるように操作3を行う：

$\begin{pmatrix}1&0&0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\0&2&0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&2&-2&-1&1\end{pmatrix}$

最後に操作1を二行目と三行目に適用して左側を単位行列にする：

$\begin{pmatrix}1&0&0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\0&0&1&-1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

この右半分が $A^{-1}$ である。

余因子を用いる方法では（3×3の）行列式についての知識を前提とします。

ただし，$\det A$ は $A$ の行列式，

$\Delta_{ij}$ は $A$ の $i$ 行目と $j$ 列目を除いた行列の行列式を $(-1)^{i+j}$ 倍したもの（余因子）

余因子の定義がやや厄介です。3×3の場合で計算してみます。

なお，逆行列の求め方の正しさの証明は線形代数の教科書を参照して下さい。