上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理

• 上三角行列（Upper triangular matrix）は対角成分よりも下側の成分が $0$ である行列です。
  3×3の例： $U=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}$

• 下三角行列（Lower triangular matrix）は対角成分よりも上側の成分が $0$ である行列です。
  3×3の例： $L=\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

• 上三角行列と下三角行列まとめて三角行列と呼びます。

• 正方行列でない場合も「上三角」「下三角」と言うこともありますが，この記事では正方行列のみ考えます。

$\det \begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}=u_{11}u_{22}u_{33}$

という感じです。

以下，上三角行列 $U=(u_{ij})$ についてのみ証明します（下三角行列も同様）。

このことから，三角行列について「対角成分が全て $0$ でない $\iff$ 正則（逆行列を持つ）」が分かります。

$\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}$ の固有値は $u_{11},u_{22},u_{33}$

という感じです。

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\0&b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\0&a_{22}b_{22}\end{pmatrix}$

という感じです（一般の場合の証明も成分計算で簡単にできます）。

特に，対角成分は簡単に計算できます。つまり，積の $ii$ 成分はもともとの $ii$ 成分の積です。

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix}$ の逆行列は $\dfrac{1}{a_{11}a_{22}}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\0&a_{11}\end{pmatrix}$

という感じです（一般の場合の証明は略）。

さらに，上三角行列 $U=(u_{ij})$ の逆行列の $ii$ 成分は $\dfrac{1}{u_{ii}}$ になります。対角成分は逆数になるというわけです。下三角行列でも同様です。

行列の対角化 はいつでもできるとは限りませんが，三角化ならいつでもできる，しかもユニタリ行列でできる，という嬉しい定理です。

三角化を具体的に計算することはあまりないですが，より難しい定理の証明でときどき活躍します。例えば 正規行列の意味と3つの代表例 で大活躍しています。

ただし，首座小行列式とは，左上の $i\times i$ 部分行列（上から $i$ 行，左から $i$ 列を取り出した行列）の行列式です。