上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理

  • 上三角行列とは,左下成分(i>ji>j である ijij 成分)が 00 である行列

  • 下三角行列とは,右上成分(i<ji<j である ijij 成分)が 00 である行列

上三角行列と下三角行列

上三角行列,下三角行列の例

  • 上三角行列(Upper triangular matrix)は対角成分よりも下側の成分が 00 である行列です。
    3×3の例: U=(a11a12a130a22a2300a33)U=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}

  • 下三角行列(Lower triangular matrix)は対角成分よりも上側の成分が 00 である行列です。
    3×3の例: L=(a1100a21a220a31a32a33)L=\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}

  • 上三角行列と下三角行列まとめて三角行列と呼びます。

  • 正方行列でない場合も「上三角」「下三角」と言うこともありますが,この記事では正方行列のみ考えます。

三角行列の行列式

定理1

三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。

det(u11u12u130u22u2300u33)=u11u22u33\det \begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}=u_{11}u_{22}u_{33}

という感じです。

以下,上三角行列 U=(uij)U=(u_{ij}) についてのみ証明します(下三角行列も同様)。

証明

置換による行列式の定義より,

detU=σsgn(σ)i=1nuiσ(i)\det U=\displaystyle\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^nu_{i\sigma(i)}

右辺について,σ\sigma が恒等置換であるとき以外は(対角成分より下側の成分を1つ以上選ぶことになるので)00 となる。

よって,detU=i=1nuii\det U=\displaystyle\prod_{i=1}^nu_{ii}

このことから,三角行列について「対角成分が全て 00 でない     \iff 正則(逆行列を持つ)」が分かります。

三角行列の固有値

定理2

三角行列の固有値は対角成分と等しい。

(u11u12u130u22u2300u33)\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix} の固有値は u11,u22,u33u_{11},u_{22},u_{33}

という感じです。

証明

さきほどの証明と同様な議論により

det(UλI)=i=1n(uiiλ)\det (U-\lambda I)=\displaystyle\prod_{i=1}^n(u_{ii}-\lambda)

となるので,固有値は u11,u22,,unnu_{11},u_{22},\cdots,u_{nn}

三角行列の積

定理3
  • 上三角行列同士の積は上三角行列
  • 下三角行列同士の積は下三角行列

(a11a120a22)(b11b120b22)=(a11b11a11b12+a12b220a22b22)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\0&b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\0&a_{22}b_{22}\end{pmatrix}

という感じです(一般の場合の証明も成分計算で簡単にできます)。

特に,対角成分は簡単に計算できます。つまり,積の iiii 成分はもともとの iiii 成分の積です。

三角行列の逆行列

定理4
  • (正則な)上三角行列の逆行列は上三角行列
  • (正則な)下三角行列の逆行列は下三角行列

(a11a120a22)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix} の逆行列は 1a11a22(a22a120a11)\dfrac{1}{a_{11}a_{22}}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\0&a_{11}\end{pmatrix}

という感じです(一般の場合の証明は略)。

さらに,上三角行列 U=(uij)U=(u_{ij}) の逆行列の iiii 成分は 1uii\dfrac{1}{u_{ii}} になります。対角成分は逆数になるというわけです。下三角行列でも同様です。

他の性質

定理5(ユニタリ三角化)

任意の正方行列 AA に対して, A=U1RUA=U^{-1}RU

となるユニタリ行列 UU と上三角行列 RR が存在する。

行列の対角化 はいつでもできるとは限りませんが,三角化ならいつでもできる,しかもユニタリ行列でできる,という嬉しい定理です。

三角化を具体的に計算することはあまりないですが,より難しい定理の証明でときどき活躍します。例えば 正規行列の意味と3つの代表例 で大活躍しています。

定理6(LU分解)

正方行列 AA について,

A=LUA=LU となる下三角行列 LL と上三角行列 UU が存在する     \iff AA のすべての首座小行列式が 00 でない

ただし,首座小行列式とは,左上の i×ii\times i 部分行列(上から ii 行,左から ii 列を取り出した行列)の行列式です。

UU という記号は上三角行列でもユニタリ行列でも使いたいので少し困ります。