上三角行列と下三角行列の性質
の正方行列 について,
「 ならば 」を満たす行列を上三角行列
「 ならば 」を満たす行列を下三角行列
という。
上三角行列,下三角行列について
三角行列の行列式
三角行列の固有値
三角行列の積
三角行列の逆行列
上三角行列,下三角行列について
上三角行列(Upper triangular matrix)は対角成分よりも下側の成分が である行列です。
3×3の例:
下三角行列(Lower triangular matrix)は対角成分よりも上側の成分が である行列です。
3×3の例:
上三角行列と下三角行列まとめて三角行列と呼びます。
三角行列の行列式
三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。
という感じです。
以下,上三角行列 についてのみ証明します(下三角行列も同様)。
このことから,三角行列について「対角成分が全て でない 正則(逆行列を持つ)」が分かります。
三角行列の固有値
三角行列の固有値は対角成分に等しい。
の固有値は
という感じです。
さきほどの証明と同様な議論により
となるので,固有値は
三角行列の積
上三角行列の積は上三角行列
下三角行列の積は下三角行列
という感じです(一般の場合の証明も簡単なので略)。
三角行列の逆行列
(正則な)上三角行列の逆行列は上三角行列
(正則な)下三角行列の逆行列は下三角行列
の逆行列は
という感じです(一般の場合の証明は略)。
つい行列の記事ばかり書きたくなってしまいます。