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上三角行列と下三角行列の性質

更新日時 2021/03/07

n×nn\times n の正方行列 A=(aij)A=(a_{ij}) について,

i>ji > j ならば aij=0a_{ij}=0」を満たす行列を上三角行列

i<ji < j ならば aij=0a_{ij}=0」を満たす行列を下三角行列

という。

目次
  • 上三角行列,下三角行列について

  • 三角行列の行列式

  • 三角行列の固有値

  • 三角行列の積

  • 三角行列の逆行列

上三角行列,下三角行列について

上三角行列(Upper triangular matrix)は対角成分よりも下側の成分が 00 である行列です。

3×3の例: U=(a11a12a130a22a2300a33)U=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}

下三角行列(Lower triangular matrix)は対角成分よりも上側の成分が 00 である行列です。

3×3の例: L=(a1100a21a220a31a32a33)L=\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}

上三角行列と下三角行列まとめて三角行列と呼びます。

三角行列の行列式

三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。

det(u11u12u130u22u2300u33)=u11u22u33\det \begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}=u_{11}u_{22}u_{33}

という感じです。

以下,上三角行列 U=(uij)U=(u_{ij}) についてのみ証明します(下三角行列も同様)。

証明

置換による行列式の定義より,

detU=σsgn(σ)i=1nuiσ(i)\det U=\displaystyle\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^nu_{i\sigma(i)}

右辺について,σ\sigma が恒等置換であるとき以外は(対角成分より下側の成分を1つ以上選ぶことになるので)00 となる。

よって,detU=i=1nuii\det U=\displaystyle\prod_{i=1}^nu_{ii}

このことから,三角行列について「対角成分が全て 00 でない     \iff 正則(逆行列を持つ)」が分かります。

三角行列の固有値

三角行列の固有値は対角成分に等しい。

(u11u12u130u22u2300u33)\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix} の固有値は u11,u22,u33u_{11},u_{22},u_{33}

という感じです。

証明

さきほどの証明と同様な議論により

det(UλI)=i=1n(uiiλ)\det (U-\lambda I)=\displaystyle\prod_{i=1}^n(u_{ii}-\lambda)

となるので,固有値は u11,u22,,unnu_{11},u_{22},\cdots,u_{nn}

三角行列の積

上三角行列の積は上三角行列

下三角行列の積は下三角行列

(a11a120a22)(b11b120b22)=(a11b11a11b12+a12b220a22b22)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\0&b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\0&a_{22}b_{22}\end{pmatrix}

という感じです(一般の場合の証明も簡単なので略)。

三角行列の逆行列

(正則な)上三角行列の逆行列は上三角行列

(正則な)下三角行列の逆行列は下三角行列

(a11a120a22)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix} の逆行列は 1a11a22(a22a120a11)\dfrac{1}{a_{11}a_{22}}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\0&a_{11}\end{pmatrix}

という感じです(一般の場合の証明は略)。

つい行列の記事ばかり書きたくなってしまいます。

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