上三角行列と下三角行列の性質

上三角行列，下三角行列について

上三角行列（Upper triangular matrix）は対角成分よりも下側の成分が $0$ である行列です。

3×3の例： $U=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}$

下三角行列（Lower triangular matrix）は対角成分よりも上側の成分が $0$ である行列です。

3×3の例： $L=\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

上三角行列と下三角行列まとめて三角行列と呼びます。

三角行列の行列式

$\det \begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}=u_{11}u_{22}u_{33}$

という感じです。

以下，上三角行列 $U=(u_{ij})$ についてのみ証明します（下三角行列も同様）。

このことから，三角行列について「対角成分が全て $0$ でない $\iff$ 正則（逆行列を持つ）」が分かります。

三角行列の固有値

$\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}$ の固有値は $u_{11},u_{22},u_{33}$

という感じです。

三角行列の積

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\0&b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\0&a_{22}b_{22}\end{pmatrix}$

という感じです（一般の場合の証明も簡単なので略）。

三角行列の逆行列

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}\end{pmatrix}$ の逆行列は $\dfrac{1}{a_{11}a_{22}}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\0&a_{11}\end{pmatrix}$

という感じです（一般の場合の証明は略）。