正規行列の意味と3つの代表例

こちらは簡単。$A=U^{*}DU$ なら $A^{*}=U^{*}D^{*}U$ であり

$AA^{*}=U^{*}DD^{*}U$

$A^{*}A=U^{*}D^{*}DU$

対角行列は正規行列（$DD^{*}=D^{*}D$）なので $AA^{*}=A^{*}A$

任意の正方行列はユニタリ三角化できる（有名な定理。行列のサイズに関する帰納法で証明できる）：

$A=U^{*}RU$

ただし $U$ はユニタリ行列で $R$ は上三角行列。

$A$ が正規行列なら，$AA^{*}=A^{*}A$ より $RR^{*}=R^{*}R$ を得る。つまり $R$ は正規行列。正規かつ上三角なら対角行列（→後述の補題）なので $R$ は対角行列。つまり $A=U^{*}RU$ はユニタリ対角化になっている。

成分計算すればわかる。例えば $3\times 3$ 行列の場合は

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}$ に対して $A^{*}=\begin{pmatrix}\overline{a}_{11}&0&0\\\overline{a}_{12}&\overline{a}_{22}&0\\\overline{a}_{13}&\overline{a}_{23}&\overline{a}_{33}\end{pmatrix}$

• $A^{*}A$ と $AA^{*}$ の $11$ 成分が等しいなら $|a_{11}|^2=|a_{11}|^2+|a_{12}|^2+|a_{13}|^2$
  よって $a_{12}=a_{13}=0$

• さらにこの結果を使って，$A^{*}A$ と $AA^{*}$ の $22$ 成分が等しいなら
  $|a_{22}|^2=|a_{22}|^2+|a_{23}|^2$
  よって $a_{23}=0$

$n\times n$ 行列の場合も $ii$ 成分を $i=1$ から $n-1$ まで順番に計算していけばよい。

定理の $\Leftarrow$ 向きは「エルミート行列」「歪エルミート行列」「ユニタリ行列」の有名な性質である。それぞれ以下の記事で証明している：

• →エルミート行列とその性質，ユニタリ対角化の証明
• →交代行列の定義と性質
• →ユニタリ行列の定義と性質の証明

以下，$\Rightarrow$ を証明する。

$A$ が正規行列なら，定理1よりユニタリ対角化可能： $$A=U^{*}DU$$

よって，$A^{*}=U^{*}D^{*}U$

• $A$ の固有値が実数なら $D^{*}=D$ より $A^{*}=A$ となり $A$ はエルミート行列
• $A$ の固有値の実部が $0$ なら $D^{*}=-D$ より $A^{*}=-A$ となり $A$ は歪エルミート行列
• $A$ の固有値の絶対値が $1$ なら $D^{-1}=D^{*}$ より $A^{-1}=A^{*}$ となり $A$ はユニタリ行列