行列の対角化の意味と具体的な計算方法

$A$ の固有値 $\lambda$ を求める。固有方程式は $\lambda^2-5\lambda+4=0$ より $\lambda=1,4$

固有値 $1$ に対応する固有ベクトルの1つは $\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$

固有値 $4$ に対応する固有ベクトルの1つは $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ より，

$P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}$ とおく。

すると，$P^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}$ になり，頑張って計算すると

$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$が得られる。$P^{-1}AP$ を対角行列にできた！

$A$ の固有ベクトル $x_1, x_2,\cdots ,x_n$ が線形独立なとき，$P$ は正則であり，$P^{-1}$ が存在する。このとき，$P^{-1}AP$ を計算する。

まず，固有値，固有ベクトルの定義より，

$AP=A(x_1,x_2,\cdots, x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots \lambda_nx_n)$

また，$P^{-1}$ の第 $i$ 行目を $y_i$ （横ベクトル）とおくと，

$P^{-1}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ であり，逆行列の定義より内積 $y_ix_j$ は $i$ と $j$ が等しいとき $1$，そうでないとき $0$ となる。

よって，$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots \lambda_nx_n)=D$

（ただし，$D$ は第 $ii$ 成分が $\lambda_i$ である対角行列）となる。

さきほどの例で計算したように，

$P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}$ とおくと，$P^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}$ になり，

$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}=D$ と対角化できた。

よって，

$$\begin{aligned} A^n&=PD^nP^{-1}\\ &=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^n&0\\0&4^n\end{pmatrix}\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}\\ &=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1+2\cdot 4^n&-1+4^n\\-2+2\cdot 4^n& 2+4^n\end{pmatrix} \end{aligned}$$