1. 高校数学の美しい物語
  2. 行列の対角化の意味と具体的な計算方法

行列の対角化の意味と具体的な計算方法

更新日時 2021/03/07

与えられた正方行列 AA に対して,正則行列 PP をうまく取ってきて P1APP^{-1}AP を対角行列にする操作を対角化と言う。

  • 対角化の嬉しさ
  • 対角化の方法(一般論)
  • 2×22\times 2 行列の具体例

の順に解説します。

目次
  • 対角化の意味(嬉しさ)

  • 対角化の条件&計算方法

  • 対角化の具体例

  • 重要な補足

対角化の意味(嬉しさ)

  • 簡単な表現を求めることができる
    正則行列 PP を用いて B=P1APB=P^{-1}AP となる行列 BB は「ある意味で AA と同じ」とみなせます(AABB は相似であると言う,詳細は省略)。そこで「ある意味で同じ」行列の中で一番簡単な表現方法(標準形)を求めたくなります。対角行列はとてもシンプルな表現なので,対角化できると嬉しいのです。

  • AnA^n が計算できる
    P1AP=DP^{-1}AP=D の両辺を nn 乗して変形すると,An=PDnP1A^n=PD^nP^{-1} となります。 DnD^n の計算は簡単なので,AnA^n も計算できます。

対角化の条件&計算方法

AAn×nn\times n 行列とし,AA の固有値と固有ベクトルを λi,xi(i=1,,n)\lambda_i,x_i\:(i=1,\cdots, n) とします。→固有値,固有ベクトルの定義と具体的な計算方法

対角化の条件&方法

1.線形独立な AAnn 本の固有ベクトルを取ってこれるとき,AA は対角化可能である。

2.対角化に用いる行列として,固有ベクトルを並べた行列 P=(x1,x2,,xn)P=(x_1,x_2,\cdots, x_n) が使える。

3.得られる対角行列 DD の対角成分は AA の固有値である。

注:対角化の条件については記事末の補足も参照。

証明

AA の固有ベクトル x1,x2,,xnx_1, x_2,\cdots ,x_n が線形独立なとき,PP は正則であり,P1P^{-1} が存在する。このとき,P1APP^{-1}AP を計算する。

まず,固有値,固有ベクトルの定義より,

AP=A(x1,x2,,xn)=(λ1x1,λ2x2,λnxn)AP=A(x_1,x_2,\cdots, x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots \lambda_nx_n)

また,P1P^{-1} の第 ii 行目を yiy_i (横ベクトル)とおくと,

P1=(y1y2yn)P^{-1}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} であり,逆行列の定義より内積 yixiy_ix_iiijj が等しいとき 11,そうでないとき 00 となる。

よって,P1AP=(y1y2yn)(λ1x1,λ2x2,λnxn)=DP^{-1}AP=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots \lambda_nx_n)=D

(ただし,DD は第 iiii 成分が λi\lambda_i である対角行列)となる。

対角化の具体例

実際に 2×22\times 2 行列を対角化してみます。

固有値,固有ベクトルが計算できれば対角化できたも同然です!

例題

A=(3122)A=\begin{pmatrix} 3&1\\2&2\end{pmatrix} を対角化せよ。

解答

AA の固有値,固有ベクトルは固有値,固有ベクトルの定義と具体的な計算方法の例題で求めた)

固有値 11 に対応する固有ベクトル (12)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}

固有値 44 に対応する固有ベクトル (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} より,

P=(1121)P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}D=(1004)D=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} とおくと,

P1AP=DP^{-1}AP=D となる(実際,簡単な計算で確認することもできてちょっと感動する)。

人気記事
  1. 高校数学の美しい物語
  2. 行列の対角化の意味と具体的な計算方法