行列の最小多項式

例として $A = \begin{pmatrix} 2&0\\0&3 \end{pmatrix}$ の最小多項式を愚直に計算してみます。

1. 一次式の場合

$f (t) = t - a$（$a$ は定数）を考えます。

このとき $$f (A) = A - aI = \begin{pmatrix} 2-a & 0\\0&3-a \end{pmatrix}$$ これはどのようにしても零行列にはなりません。

よって最小多項式は一次ではありません。

2. 二次式の場合

$f (t) = t^2 + a t + b$ を考えます。

このとき $$\begin{aligned} f (A) &= A^2 + aA + bI\\ &= \begin{pmatrix} 4+2a+b&0\\0&9+3a+b \end{pmatrix} \end{aligned}$$ となるため，連立方程式 $$\begin{cases} 4+2a+b=0\\ 9+3a+b=0 \end{cases}$$ を解けばよいことが分かります。

実際に解くと $(a,b) = (-5,6)$ です。

このようにして $t^2 - 5t + 6$ が最小多項式であることが分かりました。

先程の1次の計算を元に，以下が成立することも分かります。

$\phi (t) = \det (A - tI)$ を固有多項式と呼ぶのでした。

ケーリー・ハミルトンの定理 より $\phi (A) = O$ であることを踏まえると，最小多項式は固有多項式の因数になります。

例のプレイバック

$A = \begin{pmatrix} 2&0\\0&3 \end{pmatrix}$ の固有多項式は $$\begin{aligned} \phi (t) &= \det | A-tI |\\ & = (2-t)(3-t)\\ &= t^2 -5t + 6 \end{aligned}$$ となります。よって最小多項式の候補は $t-2$，$t-3$，$t^2-5t+6$ です。

一次多項式が $A$ の最小多項式にならないことは簡単に計算できます。よって最小多項式は $t^2-5t+6$ であることが分かります。

このように固有多項式との関係を用いると簡単に最小多項式を求めることができます。

例題の解答

1

明らかに $t - 2$ が最小多項式です。

2

固有多項式は $\begin{vmatrix} 2-t&1\\0&2-t \end{vmatrix} = (2-t)^2$ です。

よって最小多項式の候補は $t^2$，$(t-2)^2$ となります。一次式にはならないため．$(t-2)^2$ が最小多項式になります。

3

固有多項式は $$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 2-t&3\\ 1&4-t \end{vmatrix}\\ &= (2-t)(4-t) - 3\\ &= t^2 - 6t + 5 \end{aligned}$$ です。

この場合，最小多項式が一次式にならないため，$t^2-6t+5$ が最小多項式です。

4

行列を $A$ とおきましょう。

固有多項式を計算すると $$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 2-t & -1 & 2\\ -1 & 5-t & -1\\ -1 & -1 & 5-t \end{vmatrix}\\ &= (2-t)(5-t)(5-t) +2 - 1\\ &\qquad - \{ (2-t) - 2(5-t) + (5-t) \}\\ &= -t^3 + 12 t^2 - 45 t + 54\\ &= -(t-3)^2 (t-6) \end{aligned}$$ である。

一次ではないのは明らか。

二次であると仮定すると，候補は $t^2-6t+9$，$t^2-9t+18$ となります。

$$A^2 = 3 \begin{pmatrix} 1&-3&5\\ -2&9&-4\\ -2&-3&8 \end{pmatrix}$$ です。

$$\begin{aligned} &A^2 -6A + 9I\\ &= \begin{pmatrix} 3-6 \times 2 + 9 &-9 -6 \times (-1)&15 - 6 \times 2\\ -6-6 \times (-1) &27 - 6 \times 5 + 9&-12 - 6 \times (-1)\\ -6 - 6 \times (-1) &-9 - 6 \times (-1) &24 - 6 \times 5 + 9 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & -3 & 3\\ 0 & 6 & -6\\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix}\\ &\neq O \end{aligned}$$ より $t^2 - 6t + 9$ が最小多項式とはなりません。

同様に計算すると $$A^2 - 9A + 18I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3\\ 3 & 0 & -3\\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$$ であるため，$t^2 - 9 t + 18$ もまた最小多項式ではありません。

よって $t^3-12t^2+45t-54$ が最小多項式となります。

最小多項式の応用として次の定理があります。

例

先ほどの例題で登場した $\begin{pmatrix} 2&3\\1&4 \end{pmatrix}$ の最小多項式は $(t-1)(t-5)$ となるため，対角化可能です。

実際，$\begin{pmatrix} 3&1\\1&1 \end{pmatrix}$ によって $$\begin{pmatrix} 3&1\\1&1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2&3\\1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1\\1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&5 \end{pmatrix}$$ となり対角化可能です。