ケーリー・ハミルトンの定理（2次，3次，n次）

$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix}$

$-(a+d)A=\begin{pmatrix}-a^2-ad&-ab-bd\\-ac-cd&-ad-d^2\end{pmatrix}$

$(ad-bc)I=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}$

これらを全て足すと確かにゼロ行列になる。

$A$ を $n\times n$ 行列とし，その固有多項式を $\det (A-\lambda I)=\phi(\lambda)$ とおく。

$\lambda$ の部分に $A$ を入れたものを $\phi(A)$ と書く（$\phi(\lambda)$ は多項式，$\phi(A)$ は行列）。

・ $A$ が対角化できる場合

$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ なる正則行列 $P$ が存在する。ただし，$\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ は対角行列で，対角成分には $A$ の固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ が並んだものである。

よって，任意の正の整数 $k$ に対して，$P^{-1}A^kP=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k)$ が分かる。

これらの線形結合をうまく取ることで，$P^{-1}\phi (A)P=\mathrm{diag}(\phi(\lambda_1),\cdots,\phi(\lambda_n))$ となるが，$\lambda_i$ は $A$ の固有値なので $\phi(\lambda_i)=0$ である。よって，上式の右辺はゼロ行列。

つまり，$P^{-1}\phi (A)P=O$ より，$\phi(A)=O$

・対角化できない場合

摂動を加えると対角化できる場合に帰着できる。摂動 $\to 0$ の極限を考えればOK（$\det$ は連続関数）。