ケーリー・ハミルトンの定理（2次，3次，n次）

更新日時 2021/03/07

ケーリー・ハミルトンの定理

正方行列 $A$ に対して， $\det(A-\lambda I)$ という $\lambda$ の多項式の $\lambda$ の部分を $A$ に変えたものはゼロ行列になる。

ケーリー（Cayley）とハミルトン（Hamilton）の順番を入れ替えて「ハミルトン・ケーリーの定理」と言うこともあります。

二次の場合

ケーリー・ハミルトンの定理の意味を理解するために，2×2の場合について考えてみます。行列式についての知識が必要です。

この節では $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とします。

固有多項式は， $\det(A-\lambda I)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)\lambda^0$ です。

これは $\lambda$ についての二次多項式ですが， $\lambda$ の部分に強引に行列 $A$ を入れたものを考えるとゼロ行列になる，というのがケーリー・ハミルトンの定理です。

サイズ2の場合

$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O$

トレースと行列式を用いて $A^2-(\mathrm{tr}\: A)A+(\det A)I=O$ と書くこともできます。

サイズ2の場合については成分計算で簡単に証明できます。

証明

$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix}$

$-(a+d)A=\begin{pmatrix}-a^2-ad&-ab-bd\\-ac-cd&-ad-d^2\end{pmatrix}$

$(ad-bc)I=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}$

これらを全て足すと確かにゼロ行列になる。

三次の場合

$A$ が3×3行列の場合は固有多項式 $\det(A-\lambda I)$ は $\lambda$ の三次多項式になります。計算はやや煩雑なので，結果のみ書いておきます。

サイズ3の場合

$A^3-(\mathrm{tr}\:A)A^2+cA-(\det A)I=O$

ただし， $c$ は $A$ の二次の主小行列式の和： $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}+a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}$

n次，対角化できる場合の証明

ケーリー・ハミルトンの定理を証明します。

証明

$A$ を $n\times n$ 行列とし，その固有多項式を $\det (A-\lambda I)=\phi(\lambda)$ とおく。

$\lambda$ の部分に $A$ を入れたものを $\phi(A)$ と書く（ $\phi(\lambda)$ は多項式， $\phi(A)$ は行列）。

・ $A$ が対角化できる場合

$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ なる正則行列 $P$ が存在する。ただし， $\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ は対角行列で，対角成分には $A$ の固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ が並んだものである。

よって，任意の正の整数 $k$ に対して， $P^{-1}A^kP=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k)$ が分かる。

これらの線形結合をうまく取ることで， $P^{-1}\phi (A)P=\mathrm{diag}(\phi(\lambda_1),\cdots,\phi(\lambda_n))$ となるが， $\lambda_i$ は $A$ の固有値なので $\phi(\lambda_i)=0$ である。よって，上式の右辺はゼロ行列。