行列式の３つの定義・性質・意味

$A$ を $n \times n$ 行列として $ij$ 成分を $a_{ij}$ とする。このとき，行列式を $$\begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}\\ &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn} (\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \end{aligned}$$ と定める。

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ の行列式は，$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ である。

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ a_{31} & a_{32} &a_{33}\\ \end{pmatrix}$ の行列式は，

$$\begin{aligned} &a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{aligned}$$

である。

3×3の行列の行列式は

「左上から右下にかけて足す」$-$「右上から左下にかけて足す」

という方法で計算できる。

性質1：単位行列 $I$ に関して $\det I=1$

性質2（交代性）： $i$ 列と $j$ 列を交換すると行列式は $-1$ 倍される。

$$\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{i} & \cdots & a_{j} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}\\ &= - \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{j} & \cdots & a_{i} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

性質3（多重線形性）：一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する。

$$\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & \alpha a_{i} + \beta b_{i} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}\\ &= \alpha \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{i}& \cdots & a_{n} \end{pmatrix}\\ &\quad + \beta \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & b_{i} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

上述した性質1～3を満たす写像として行列式を定義することができる。

具体的には，$n \times n$ 行列から複素数への写像 $\phi$ が

• 単位行列を $1$ に写す
• 交代性
• 多重線型性

を満たす場合，それは行列式と同値である。