ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例

ヴァンデルモンド行列の行列式 $\det V_n$ は変数 $x_1, x_2,\cdots, x_n$ に関する多項式である。行列式の性質「$2$ つの列が同じなら行列式は $0$」より $x_1=x_2$ のときは行列式が $0$ となるので因数定理より $\det V_n$ は $x_2-x_1$ を因数に持つ。

同様に考えると，$\det V_n$ は，ある多項式 $f(x)$ を用いて

$\det V_n=f(x)\displaystyle\prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i)$

と書けることがわかる。

あとは $f(x)=1$ を示せばよい。

行列式の定義 $\det A_n=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}$

より $\det V_n$ は $x_1, x_2,\cdots, x_n$ に関して $\dfrac{1}{2}n(n-1)$ 次式である。よって $f(x)$ は定数：

$\det V_n=C\displaystyle\prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i)$

あとは $x_2x_3^2x_4^3\cdots x_{n}^{n-1}$ (対角線上の数を掛けあわせたもの，$\sigma$ が恒等置換に対応）の係数を比較すれば $C=1$ となる。

$n=1$ のとき，$\det V_1=1$ となり成立。

$n=k-1$ のときを仮定して $n=k$ でも成り立つことを示す。一般の場合に書くと複雑なので $k=4$ の場合を書く。

$\det\begin{pmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\x_1^2&x_2^2&x_3^2&x_4^2\\x_1^3&x_2^3&x_3^3&x_4^3\end{pmatrix}$

について，2～4列目から1列目を引くことにより

$\det\begin{pmatrix}1&0&0&0\\x_1&x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\x_1^2&x_2^2-x_1^2&x_3^2-x_1^2&x_4^2-x_1^2\\x_1^3&x_2^3-x_1^3&x_3^3-x_1^3&x_4^3-x_1^3\end{pmatrix}$

と等しい。ラプラス展開すると，右下 $3\times 3$ 部分が残って

$\det\begin{pmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\x_2^2-x_1^2&x_3^2-x_1^2&x_4^2-x_1^2\\x_2^3-x_1^3&x_3^3-x_1^3&x_4^3-x_1^3\end{pmatrix}$

と等しい。3行目から2行目の $x_1$ 倍を引いて，そのあとで2行目から1行目の $x_1$ 倍を引くと，

$\det\begin{pmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\x_2^2-x_1x_2&x_3^2-x_1x_3&x_4^2-x_1^2x_4\\x_2^3-x_1x_2^2&x_3^3-x_1x_3^2&x_4^3-x_1x_4^2\end{pmatrix}$

と等しい。$i$ 行目の各要素は $x_{i+1}-x_1$ を因数に持つので，上式は $(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)\times$
$\det\begin{pmatrix}1&1&1\\x_2&x_3&x_4\\x_2^2&x_3^2&x_4^2\end{pmatrix}$

となりサイズが1つ小さいヴァンデルモンド行列式に帰着できた。

$n-1$ 次以下の関数は $y=a_0+a_1x\cdots+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1}$ と置ける。

与えられた $n$ 点を通るとき，それぞれの値を代入して，$n$ 本の式を得る：

$y_i=a_0+a_1x_i\cdots+a_{n-2}x_i^{n-2}+a_{n-1}x_i^{n-1}$

この $n$ 本をまとめてかくと，

$\overrightarrow{y}=V_n^{\top}\overrightarrow{a}$

ただし，$\overrightarrow{y},\overrightarrow{a}$ は $y_i, a_i$ を縦に並べたベクトルで，$V_n^{\top}$ はヴァンデルモンド行列の転置。

よって $\det V_n^{\top}\neq 0$ なら逆行列が存在して係数 $\overrightarrow{a}$ が一意に存在する。

実際 $x_i$ たちは異なるので，ヴァンデルモンド行列式の定理より $\det V_n\neq 0$ であり，転置行列の行列式はもとのと等しい（$\det V_n=\det V_n^{\top}$ ）ので $\det V_n^{\top}\neq 0$