差積の意味と置換の符号が定義できることの証明

$x_a$ と $x_b$ （$a< b$）を交換したときに差積が $-1$ 倍されることを確認すればよい。

$x_a$ と $x_b$ を交換することで，

• $(x_b-x_a)$ という部分は$-1$ 倍される。

• $a<c< b$ なる $c$ に対して，$(x_c-x_a)(x_b-x_c)$ という部分は $(-1)^2$ 倍される（つまりそのまま）。

• $c< a$ なる $c$ に対して，$(x_a-x_c)(x_b-x_c)$ という部分はそのまま。

• $b< c$ なる $c$ に対して，$(x_c-x_a)(x_c-x_b)$ という部分はそのまま。

• 他の部分には $x_a$ も $x_b$ も登場しないのでそのまま。

つまり，全体で $-1$ 倍される。

$n$ 次の置換 $\sigma$ と $n$ 変数多項式 $f(x_1,\cdots,x_n)$ に対して，

$$\sigma f(x_1,\cdots,x_n) = f(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(n)})$$

（$f$ の変数を $\sigma$ によって並べ替えて得られる $n$ 変数多項式）と定義する。

置換の性質より $(\sigma_1\sigma_2) f=\sigma_1 (\sigma_2 f)$ である。

今，$\sigma=\sigma_k\sigma_{k-1}\cdots \sigma_2\sigma_1=\tau_{l}\tau_{l-1}\cdots \tau_2\tau_1$ と（2通りの方法で）互換の積で表せたとする。

このとき，

$$\begin{aligned} &\sigma \Delta(x_1,\cdots x_n)\\ &=\sigma_k\sigma_{k-1}\cdots \sigma_2\sigma_1\Delta(x_1,\cdots,x_n)\\ &=(-1)^k\Delta(x_1,\cdots,x_n) \end{aligned}$$

である。ただし，$\Delta$ が交代式なので互換の作用によって $-1$ 倍されることを用いた。

同様に，

$$\begin{aligned} &\sigma \Delta(x_1,\cdots x_n)\\ &=\tau_l\tau_{l-1}\cdots \tau_2\tau_1\Delta(x_1,\cdots,x_n)\\ &=(-1)^l\Delta(x_1,\cdots,x_n) \end{aligned}$$

である。以上2式より $k$ と $l$ の偶奇は等しい。