絶対収束と条件収束の意味と具体例

この記事では数列の各項 $a_n$ は実数とします。

• 無限級数の収束とは（高校数学）
  数列 $S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i$ が収束するとき，無限級数 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ は収束すると言います。

• 絶対収束とは
  各項の絶対値を取った和： $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}|a_i|$ が収束するとき，$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ は絶対収束すると言います。

• 条件収束とは
  収束するが，絶対収束しないような無限級数を条件収束すると言います。

条件収束の例として非常に有名な交代級数です！

• この級数は $\log 2$ に収束します。→log2に収束する交代級数の証明
• しかし，各項の絶対値を取って足し上げると無限大に発散します（絶対収束しない）。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明

各項の絶対値を取って符号を揃えてるので，絶対収束の方が厳しい条件であるというのは感覚的には当たり前ですね。

一応ちゃんと証明しておきます（コーシー列について知らない人は飛ばしてください）。

和の順序交換

数列 $a_n$ の各項を並べ替えた数列を $b_n$ とする（厳密には正の整数全体から正の整数全体への全単射を用いて定義される）。 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ が絶対収束するなら，$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i=\sum_{i=1}^{\infty}b_i$
つまり，順番を好きに並び替えることができる。

条件収束だとダメな例

条件収束だと（無限個の）順序交換は許されません。

log2に収束する交代級数の証明 にある通り $$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$$ が成立します。

突然ですが，整数全体を4つのグループに分けてみます。

• $1,2,4$
• $3$ 以上の奇数全体
• $2$ で一回だけ割り切れる $6$ 以上の整数（$6,14$ など）
• $4$ の倍数で $8$ 以上のもの

この4グループに分けて無限和を計算してみましょう。

$$\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\\ &= 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{2(2k-1)}-\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{4k}\\ &= 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{4k} \right)\\ &= 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{4k} \right)\\ & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}\right) &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\\ &= \frac{1}{2} \log 2 \end{aligned}$$

なんと収束値が変わってしましました！

実は $\dfrac{1}{2} \log 2$ のみならず，任意の実数に収束させることができます。

証明などより詳しく興味がある方は，是非調べてみてください。

畳み込み

絶対収束する二つの無限級数 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ ，$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}b_i$ について考える。 $c_i=\displaystyle\sum_{k=1}^ia_kb_{i+1-k}$ とおくと，
$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}c_i$ は絶対収束し，その値は $$\sum_{i=1}^{\infty}c_i=\sum_{i=1}^{\infty}a_i\sum_{i=1}^{\infty}b_i$$ となります。

畳み込みについては合成積（畳み込み）の意味と応用3つをどうぞ。