代数，情報・暗号理論

有限集合の大きさは要素数ではかれる。

無限集合の大きさの表現には濃度を用いる。

$n$個のものを並び替える操作を置換と言う。

確率 $p ( > 0)$ で起こる事象を観測したときに得られる（自己）情報量を $-\log_2 p$ bitと定義する。

集合 $G$ とその集合上の二項演算 $f$ の組がとある条件を満たすときに，そのペア $(G,f)$ を群と言う。

多項式補間を使うことで「故障に強い」かつ「漏洩に強い」秘密情報の保管が実現できる。

対数和不等式（Log sum inequality）

$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$ を正の数とするとき，

$$\sum a_k\log\dfrac{a_k}{b_k} \geq \left(\sum a_k \right) \log\dfrac{\sum a_k}{\sum b_k}$$

任意の実数 $a,b\:(a < b)$ に対して，

$a< q< b$ を満たす有理数 $q$ が存在する（有理数の稠密性）。

$a< x< b$ を満たす無理数 $x$ が存在する（無理数の稠密性）。

$n$ 個の変数の全てのペアの差の積： $$\Delta (x_1,\cdots,x_n)=\displaystyle\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$$

を差積（最簡交代式，基本交代式）と言う。

位数（要素数）が $q$ の有限体が存在する $\iff$ ある素数 $p$ と正の整数 $n$ が存在して $q=p^n$

1の数の偶奇の情報を付加することで誤りを検出できる（ことがある）。

（離散の）確率変数 $X$ と $Y$ の間の相互情報量 $I(X;Y)$ を，

$$\begin{aligned} &I(X;Y)\\ &= \sum_{x\in X} \sum_{y\in Y} P_{X,Y}(x,y)\log\dfrac{P_{X,Y}(x,y)}{P_X(x)P_Y(y)}\\ &= \sum_{x\in X} \sum_{y\in Y} P_{X,Y}(x,y)\log\dfrac{P_{X,Y}(x,y)}{P_X(x)P_Y(y)} \end{aligned}$$

で定義する。

足し算とかけ算ができるような代数系を環（かん）という。

足し算・引き算・掛け算・割り算ができるような代数系を体（たい）という。