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有限体(ガロア体)の基本的な話

更新日時 2021/03/07

位数(要素数)が qq の有限体が存在する     \iff ある素数 pp と正の整数 nn が存在して q=pnq=p^n

目次
  • 有限体とは

  • GF(2)GF(2)

  • 位数が素数である場合

  • 位数が素数でない場合

  • 冒頭の定理について

有限体とは

位数が有限である体を有限体(またはガロア体)と言います。大雑把に言うと,四則演算ができる有限集合のことです。

位数が qq である有限体(実は,同型を除いて一通りに定まる)を FqF_qGF(q)GF(q) などと表記します。

GF(2)GF(2)

具体例として,位数が 22 の有限体について考えてみます。

{0,1}\{0,1\} という,要素数が 22 の有限集合を考えます。そして,四則演算を「整数の世界で四則演算をして,それを 22 で割った余り」と定義します。例えば,1+1=01+1=01×0=01\times 0=001=10-1=1 という感じです。

この定義は四則演算が満たすべき性質(体の公理)を満たしているので,有限体になっています!

位数が素数である場合

より一般に,位数が素数 pp である有限体は,

  • {0,1,,p1}\{0,1,\cdots,p-1\} という集合,

  • 「整数の世界で足し算(引き算,かけ算)をして,それを pp で割った余り」という足し算(引き算,かけ算),

  • a×x=ba\times x=b を満たす xxb÷ab\div a とするような割り算

を考えることで構成できます。

そして,位数が pp である体は同型を除いて一つであることが知られています。つまり,位数が pp である体は本質的に上で構成したものしかないということです。

位数が素数でない場合

では,さきほどと同様に,位数が 44 の有限体を構成できないか,考えてみます。 {0,1,2,3}\{0,1,2,3\} という集合を考えます。

実は,残念ながら例えば 1÷21\div 2 が定義できません。 2×x=12\times x=1 を満たす xx が存在しないからです。

なお,位数が素数 pp の場合には,

任意の a{1,,p1},b{0,1,,p1}a\in \{1,\cdots, p-1\},b\in\{0,1,\cdots,p-1\} に対して,axb(modp)ax\equiv b\pmod{p} を満たす整数 x{0,1,,p1}x\in \{0,1,\cdots,p-1\} がただ一つ存在する

という性質がある(高校数学で簡単に証明できる)ため,このような問題は起こりません。

冒頭の定理について

上の方法では位数 44 の体は構成できませんでしたが,別の方法で構成することができます。より一般に,位数が素数のべき乗である有限体は,既約多項式というものを用いて構成することができます。

また,位数が素数のべき乗でないような有限体は存在しません。

「ガロア体」と言う方が,「有限体」と言うよりも難しく聞こえる気がします。

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