連鎖律（チェインルール）～多変数関数の合成関数の微分

更新 2025/07/27

連鎖律（チェインルール）とは，高校数学で習う合成関数の微分公式を多変数関数に拡張した公式です。
例えば，2変数関数の場合，以下のようになります。
連鎖律（チェインルール）
(x,y)(x,y)(x,y)
 から
(u,v)(u,v)(u,v)
 が定まり，(u,v)(u,v)(u,v)
 から
fff
 が定まるとき
∂f∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x∂f∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}
∂x∂f​=∂u∂f​∂x∂u​+∂v∂f​∂x∂v​∂y∂f​=∂u∂f​∂y∂u​+∂v∂f​∂y∂v​
となる。
この記事では，連鎖律の具体例・行列を使った表現・導出について解説します。
連鎖律は数学ではもちろん，物理でも頻繁に登場します。また，機械学習におけるニューラルネットワークの逆誤差伝搬法を理解するためにも必要な公式です。
偏微分が大量に登場します。偏微分については偏微分の意味と計算例・応用をどうぞ。
練習問題があります。こちらから解いてみてください。→連鎖律（chain rule）の練習問題

連鎖律

高校数学で合成関数の微分（→合成関数の微分公式と例題７問）を習いました。例えば sin⁡3x\sin^3 xsin3x の微分は sin⁡x\sin xsinx と x3x^3x3 の合成関数だと思うことで
(sin⁡3x)′=3sin⁡2x(sin⁡x)′=3sin⁡2xcos⁡x
(\sin^3 x)' = 3 \sin^2 x (\sin x)' = 3\sin^2 x \cos x
(sin3x)′=3sin2x(sinx)′=3sin2xcosx
と計算できます。
これを多変数関数に拡張したのが連鎖律（チェインルール）です。
2変数から1変数へ2変数関数を1変数関数に置換する際の連鎖律から紹介します。
定理
2変数関数 f(u,v)f(u,v)f(u,v) について，u,vu,vu,v を ttt の関数 u(t),v(t)u(t),v(t)u(t),v(t) と置換するとき，fff の ttt による微分は

dfdt=∂f∂ududt+∂f∂vdvdt
\dfrac{d f}{d t} = \dfrac{\partial f}{\partial u} \dfrac{du}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial v} \dfrac{dv}{dt} 
dtdf​=∂u∂f​dtdu​+∂v∂f​dtdv​
となる。
2変数から2変数へ2変数関数を2変数関数に置換する際の連鎖律から紹介します。
定理
2変数関数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) について，u,vu,vu,v を x,yx,yx,y の関数 u(x,y),v(x,y)u(x,y),v(x,y)u(x,y),v(x,y) と置換するとき，fff の x,yx,yx,y による偏微分は
∂f∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x∂f∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}
∂x∂f​=∂u∂f​∂x∂u​+∂v∂f​∂x∂v​∂y∂f​=∂u∂f​∂y∂u​+∂v∂f​∂y∂v​
となる。
作り方連鎖律は項が多くて間違えそうな方も多いでしょう。
簡単な公式の作り方を紹介します。
関数（fff など）と微分したい変数（xxx など）をずらして書く：
∂f∂x
\dfrac{\partial f}{} \dfrac{}{\partial x}
∂f​∂x​
xxx と fff の間にある変数（uuu など）を1つ選んで，間に書き込む：
∂f∂u∂u∂x
\dfrac{\partial f}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x}
∂u∂f​∂x∂u​
他にも間にある変数があれば，すべて足す：
∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x
\dfrac{\partial f}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x}
∂u∂f​∂x∂u​+∂v∂f​∂x∂v​

例題

連鎖律を使って偏微分を計算してみます。この記事では，全ての偏微分係数が存在するとき，という条件はいちいち書かないことにします。

例題

$f(x,y)=(x^2+y^2)\sin xy$ に対して，偏導関数 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ を求めよ。

解答

$u(x,y)=x^2+y^2$ ， $v(x,y)=\sin xy$ とおくと， $f=uv$ であり，

$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x} &= \dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\ &= v(2x)+u(y\cos xy)\\ &= 2x\sin xy+(x^2y+y^3)\cos xy \end{aligned}$

連鎖律と行列

連鎖律を行列で表現してみます。
(x,y)→(u,v)(x,y)\to (u,v)(x,y)→(u,v)
 のヤコビ行列（偏導関数を並べたもの）を
JAJ_AJA​
，(u,v)→f(u,v)\to f(u,v)→f
 のヤコビ行列を
JBJ_BJB​
 とします。→ヤコビ行列，ヤコビアンの定義
つまり，
JA=(∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y),JB=(∂f∂u∂f∂v)
J_A=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x}&\dfrac{\partial u}{\partial y}\\\dfrac{\partial v}{\partial x}&\dfrac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix},J_B=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial u}&\dfrac{\partial f}{\partial v}\end{pmatrix}
JA​=⎝⎛​∂x∂u​∂x∂v​​∂y∂u​∂y∂v​​⎠⎞​,JB​=(∂u∂f​​∂v∂f​​)
です。このとき連鎖律は
(x,y)→f(x,y)\to f(x,y)→f のヤコビ行列 J=(∂f∂x∂f∂y)J=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}&\dfrac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}J=(∂x∂f​​∂y∂f​​)
がヤコビ行列の積 JBJAJ_BJ_AJB​JA​ となることを表しています。
つまり合成関数のヤコビ行列はヤコビ行列の合成になります。
より一般に，以下が成立します。
連鎖律（一般形）
(x1,⋯ ,xl)(x_1,\cdots,x_l)(x1​,⋯,xl​)
 から
(u1,⋯ ,um)(u_1,\cdots,u_m)(u1​,⋯,um​)
 が定まり，(u1,⋯ ,um)(u_1,\cdots,u_m)(u1​,⋯,um​)
 から
(f1,⋯ ,fn)(f_1,\cdots,f_n)(f1​,⋯,fn​)
 が定まるとする。それぞれの変換のヤコビ行列を
JA,JBJ_A,J_BJA​,JB​
 とする。
このとき，(x1,⋯ ,xl)→(f1,⋯ ,fn)(x_1,\cdots,x_l)\to (f_1,\cdots,f_n)(x1​,⋯,xl​)→(f1​,⋯,fn​)
 のヤコビ行列は
JBJAJ_BJ_AJB​JA​
例えば l=2,m=3,n=2l=2,m=3,n=2l=2,m=3,n=2
 のとき，
(∂f1∂x1∂f1∂x2∂f2∂x1∂f2∂x2)=(∂f1∂u1∂f1∂u2∂f1∂u3∂f2∂u1∂f2∂u2∂f2∂u3)(∂u1∂x1∂u1∂x2∂u2∂x1∂u2∂x2∂u3∂x1∂u3∂x2)\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}&\dfrac{\partial f_1}{\partial u_3}\\\dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}&\dfrac{\partial f_2}{\partial u_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial u_1}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial u_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial u_2}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial u_3}{\partial x_1}&\dfrac{\partial u_3}{\partial x_2}\end{pmatrix}⎝⎛​∂x1​∂f1​​∂x1​∂f2​​​∂x2​∂f1​​∂x2​∂f2​​​⎠⎞​=⎝⎛​∂u1​∂f1​​∂u1​∂f2​​​∂u2​∂f1​​∂u2​∂f2​​​∂u3​∂f1​​∂u3​∂f2​​​⎠⎞​⎝⎛​∂x1​∂u1​​∂x1​∂u2​​∂x1​∂u3​​​∂x2​∂u1​​∂x2​∂u2​​∂x2​∂u3​​​⎠⎞​
という感じです。美しいですね！

連鎖律の導出

厳密な証明ではありませんが，イメージはつかみやすいと思います。

導出

$(x_1,\cdots ,x_l)$ を $(x_1+\Delta x_1,\cdots ,x_l+\Delta x_l)$ に微小変化させたときの $(u_1,\cdots,u_m)$ の変化量 $\fallingdotseq J_A(\Delta x_1,\cdots, \Delta x_l)$

$(u_1,\cdots ,u_m)$ を $(u_1+\Delta u_1,\cdots ,u_m+\Delta u_m)$ に微小変化させたときの $(f_1,\cdots,f_n)$ の変化量 $\fallingdotseq J_B(\Delta u_1,\cdots, \Delta u_m)$

以上2式より， $(x_1,\cdots ,x_l)$ を $(x_1+\Delta x_1,\cdots ,x_l+\Delta x_l)$ に微小変化させたときの $(f_1,\cdots,f_n)$ の変化量 $\fallingdotseq J_BJ_A(\Delta x_1,\cdots, \Delta x_l)$

これは $x\to f$ のヤコビ行列が $J_BJ_A$ であることを示している。

連鎖律のことを英語では chain rule（チェインルール）と言います。けっこうかっこいいですね。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！