連鎖律（多変数関数の合成関数の微分）

高校数学で習う合成関数の微分（→合成関数の微分公式と例題７問）を多変数関数に拡張したのが連鎖律です。

連鎖律は数学ではもちろん，物理でも頻繁に登場します。また，機械学習におけるニューラルネットワークの逆誤差伝搬法を理解するためにも必要な公式です。

偏微分が大量に登場します。偏微分については偏微分の意味と計算例・応用をどうぞ。

連鎖律を使って偏微分を計算してみます。この記事では，全ての偏微分係数が存在するとき，という条件はいちいち書かないことにします。

連鎖律を行列で表現してみます。

$(x,y)\to (u,v)$ のヤコビ行列（偏導関数を並べたもの）を $J_A$ ，$(u,v)\to f$ のヤコビ行列を $J_B$ とします。→ヤコビ行列，ヤコビアンの定義

つまり，

$J_A=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x}&\dfrac{\partial u}{\partial y}\\\dfrac{\partial v}{\partial x}&\dfrac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}$，$J_B=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial u}&\dfrac{\partial f}{\partial v}\end{pmatrix}$

です。このとき連鎖律は

$(x,y)\to f$ のヤコビ行列 $J=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}&\dfrac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}$

がヤコビ行列の積 $J_BJ_A$ となることを表しています。

より一般に，以下が成立します。

例えば $l=2,m=3,n=2$ のとき， $$\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial u_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial u_2}&\dfrac{\partial f_1}{\partial u_3}\\\dfrac{\partial f_2}{\partial u_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial u_2}&\dfrac{\partial f_2}{\partial u_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial u_1}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial u_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial u_2}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial u_3}{\partial x_1}&\dfrac{\partial u_3}{\partial x_2}\end{pmatrix}$$ という感じです。美しいですね！

厳密な証明ではありませんが，イメージはつかみやすいと思います。