連鎖律（chain rule）の練習問題

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial r} &= \dfrac{df}{dx} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{df}{dy} \dfrac{\partial y}{\partial r}\\ &= ye^{xy} \cos \theta + xe^{xy} \sin \theta\\ &= re^{r^2 \sin \theta \cos \theta} \sin \theta \cos \theta\\ &\quad + re^{r^2 \sin \theta \cos \theta} \sin \theta \cos \theta\\ &= 2r e^{r^2 \sin \theta \cos \theta} \sin \theta \cos \theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \theta} &= \dfrac{df}{dx} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{df}{dy} \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\ &= -ye^{xy} r\sin \theta + xe^{xy} r\cos \theta\\ &= -re^{r^2 \sin \theta \cos \theta} \sin^2 \theta\\ &\quad + re^{r^2 \sin \theta \cos \theta} \cos^2 \theta\\ &= r e^{r^2 \sin \theta \cos \theta} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \end{aligned}$$

まず $r, \theta$ を $x,y$ で表すと， $$\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta &= \arctan \dfrac{y}{x} \end{aligned}$$ となる。

$f (t) = \sqrt{t}$，$t = x^2 + y^2$ とおくと $r (x,y)= f(t(x,y))$ と表される。 $g(s) = \arctan s$，$s = \dfrac{y}{x}$ とおくと，$\theta (x,y) = g (s(x,y))$ と表される。

これを用いて計算をする。 $$\begin{aligned} \dfrac{\partial r}{\partial x} &= \dfrac{df}{dt} \dfrac{\partial t}{\partial x}\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{t}} \cdot 2x\\ &= \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{aligned}$$

同じく計算して $\dfrac{\partial r}{\partial y} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ である。

また $$\begin{aligned} \dfrac{\partial \theta}{\partial x} &= \dfrac{dg}{ds} \dfrac{\partial s}{\partial x}\\ &= \dfrac{1}{1+s^2} \cdot \dfrac{-y}{x^2}\\ &= -\dfrac{y}{x^2 + y^2}\\ \dfrac{\partial \theta}{\partial y} &= \dfrac{dg}{ds} \dfrac{\partial s}{\partial y}\\ &= \dfrac{1}{1+s^2} \cdot \dfrac{1}{x}\\ &= \dfrac{x}{x^2 + y^2}\\ \end{aligned}$$ である。

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ とおくと $f(r) = 2\log r$ である。$f'(r) = \dfrac{2}{r}$，$f''(r) = - \dfrac{2}{r^2}$ である。

よって $$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x} &= \dfrac{df}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x}\\ &= f'(r) \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ &= f'(r) \cdot \dfrac{x}{r}\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= \dfrac{\partial}{\partial x} \left( f'(r) \cdot \dfrac{x}{r} \right)\\ &= f'(r) \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{x}{r} \right) + \dfrac{x}{r} \dfrac{\partial}{\partial x} f'\\ &= f'(r) \dfrac{r - x\dfrac{x}{r}}{r^2} + f''(r) \left( \dfrac{x}{r} \right)^2 &(\text{後述})\\ &= \dfrac{2(r^2 - x^2)}{r^4} - \dfrac{x^2}{r^4}\\ &= \dfrac{2}{r^2} - \dfrac{3x^2}{r^2} \end{aligned}$$ と計算される。

なお，2行目から3行目は次のように計算する。

• 1項目 $$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{x}{r} \right) &= \dfrac{1}{r^2} \left( r\dfrac{\partial x}{\partial x} - x \dfrac{\partial r}{\partial x} \right) &(\text{商の微分})\\ &= \dfrac{1}{r^2} \left( 1 - x\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) \\ &= \dfrac{r-\dfrac{x^2}{r}}{r} \end{aligned}$$
• 2項目 $$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial x} f' &= \dfrac{df'}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x} &(\text{連鎖律})\\ &= f''(r) \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ &= f''(r) \cdot \dfrac{x}{r} \end{aligned}$$

同様に計算すると $$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{2}{r^2} - \dfrac{3y^2}{r^2} \end{aligned}$$ であるため $$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= \dfrac{2}{r^2} - \dfrac{3x^2}{r^2} + \dfrac{2}{r^2} - \dfrac{3y^2}{r^2}\\ &= \dfrac{4}{r^2} - \dfrac{3(x^2+y^2)}{r^2}\\ &= \dfrac{1}{r^2}\\ &= \dfrac{1}{x^2+y^2} \end{aligned}$$ となる。

連鎖律を用いると $$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial r} &= \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial r}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial r}\\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x}\cos \theta+\dfrac{\partial f}{\partial y} \sin \theta\\ \dfrac{\partial f}{\partial \theta} &= \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \theta}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\ &= -\dfrac{\partial f}{\partial x} r\sin \theta + \dfrac{\partial f}{\partial y} r\cos \theta\\ \end{aligned}$$ となる。辺々2乗すると $$\begin{aligned} &\left( \dfrac{\partial f}{\partial r} \right)^2\\ &= \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\cos \theta+\dfrac{\partial f}{\partial y} \sin \theta \right)^2\\ &= \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)^2 \cos^2 \theta + 2 \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial f}{\partial y} \cos \theta \sin \theta + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)^2 \sin^2 \theta\\ &\left( \dfrac{\partial f}{\partial \theta} \right)^2\\ &= \left( -\dfrac{\partial f}{\partial x} r\sin \theta + \dfrac{\partial f}{\partial y} r\cos \theta \right)^2\\ &= r^2 \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)^2 \sin^2 \theta - 2 \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial f}{\partial y} r^2\cos \theta \sin \theta + r^2 \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)^2 \cos^2 \theta\\ \end{aligned}$$

これらを足すと $$\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)^2 = \left( \dfrac{\partial f}{\partial r} \right)^2 + \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial f}{\partial \theta} \right)^2$$ となる。