二次元極座標における運動方程式とその導出

（極座標の運動方程式の導出）

(2A) $\times\cos\theta+$ (2B) $\times\sin\theta$ より，

$\ddot{x}\cos\theta+\ddot{y}\sin\theta=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$

（真ん中の二つは消える！）

両辺に $m$ をかけて，直交座標の運動方程式を用いると，

$F_x\cos\theta+F_y\sin\theta=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)$

これと(1A)より $m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_r$

$\theta$ 方向についても同様。

(2A) $\times (-\sin\theta)+$ (2B) $\times\cos\theta$ より，

$-\ddot{x}\sin\theta+\ddot{y}\cos\theta=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}$

（端の二つは消える！）

これと直交座標の運動方程式および(1B)より $F_{\theta}=m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})$

これでもよいが，（$r^2\dot{\theta}$ の時間微分は $2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}$ となることを用いて）さらに少し変形すると，

$m\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=F_{\theta}$

を得る。