地球の公転軌道が楕円であることの導出

地球は太陽からの引力（中心力）を受けて運動する。運動方程式は，

$m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\dfrac{K}{r^2}$

$m\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=0$

ただし，$K$ は定数。二つ目の式より $r^2\dot{\theta}=C$ （$C$ も定数）

この式を $\dot{\theta}$ について解いて一つ目の式に代入すると，

$m\ddot{r}-\dfrac{mC^2}{r^3}=-\dfrac{K}{r^2}$

を得る。

合成関数の微分公式と $r^2\dot{\theta}=C$ より，

$\dot{r}=\dot{\theta}\dfrac{dr}{d\theta}=\dfrac{C}{r^2}\dfrac{dr}{d\theta}$

さらに両辺を $t$ で微分すると，

$\ddot{r}=\dfrac{-2C\dot{r}}{r^3}\dfrac{dr}{d\theta}+\dfrac{C^2}{r^4}\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\\ =\dfrac{-2C^2}{r^5}\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2+\dfrac{C^2}{r^4}\dfrac{d^2r}{d\theta^2}$

これを（前半）で得た式に代入すると，

$\dfrac{-2mC^2}{r^3}\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2+\dfrac{mC^2}{r^2}\dfrac{d^2r}{d\theta^2}-\dfrac{mC^2}{r}=-K$

となり $r$ と $\theta$ の関係を求めるための微分方程式を得る。

天下り的ですが，$p=\dfrac{1}{r}$ と置換します。またまた合成関数の微分より，

$\dfrac{dp}{d\theta}=-\dfrac{dr}{d\theta}\dfrac{1}{r^2}$

$\dfrac{d^2p}{d\theta^2}=-\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\dfrac{1}{r^2}+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\dfrac{2}{r^3}$

これをさきほどの微分方程式と比較して，

$mC^2\dfrac{d^2p}{d\theta^2}=-mC^2p+K$ を得る。

これは単振動の方程式なので解くことができる：

$p=\dfrac{K}{mC^2}+A\cos(\theta+B)$

ただし，$A,B$ は初期条件から定まる定数。

適当に回転することで $B=0$ とできる。よって，

$r=\dfrac{1}{p}=\dfrac{\frac{mC^2}{K}}{1+\frac{mC^2A}{K}\cos\theta}$

となり二次曲線の極座標表示の形と一致する。