解析

    更新日時 2021/03/11

    複素指数関数とオイラーの公式

    高校数学では三角関数や指数関数の定義域は実数ですが,一般に複素数の三角関数や指数関数を考えることもできます。

    一般に複素数の指数関数は,実数の指数関数及び三角関数を用いて以下のように定義される:

    e(a+bi)=ea(cosb+isinb)(a,bR)e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)\hspace{15mm}(a,b \in \mathbb{R})

    → 複素指数関数とオイラーの公式

    多変数のガウス積分

    多変数のガウス積分:

    exp(12xAx+bx)dx=(2π)ndetAexp(12bA1b)\displaystyle\int \exp(-\dfrac{1}{2}x^{\top}Ax+b^{\top}x)dx=\sqrt{\dfrac{(2\pi)^n}{\det A}}\exp (\dfrac{1}{2}b^{\top}A^{-1}b)

    → 多変数のガウス積分

    関数の連続性と一様連続性

    limxaf(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

    が成立するとき,関数 f(x)f(x)x=ax=a で連続という。

    また,定義域(考えている区間内)の任意の点 aa で関数 ff が連続のとき,ff を連続関数と呼ぶ。

    → 関数の連続性と一様連続性

    フレネル積分(sin x^2の積分)

    フレネル積分:

    sinx2dx=cosx2dx=π2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}

    ※被積分関数は (sinx)2(\sin x)^2 ではなく x2x^2 のサインです。

    → フレネル積分(sin x^2の積分)

    ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質

    階乗 n!n!nn を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。

    → ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質

    複素数の対数関数とiのi乗の主値が実数であること

    虚数単位 iiii 乗はいくらなのか?というのを目標に,複素数の対数関数と指数関数について解説します。

    → 複素数の対数関数とiのi乗の主値が実数であること

    ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質

    ディリクレ関数:

    実数全体で定義され,有理数のときに 11 ,無理数のときに 00 を取る関数をディリクレ関数と言う。

    f(x)={1(xQ)0(otherwise)f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (x\in \mathbb{Q}) \\ 0 & (\mathrm{otherwise}) \end{array} \right.

    → ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質

    ゼータ関数の定義と基本的な話

    s>1s > 1 なる実数に対してゼータ関数 ζ(s)\zeta(s) は以下のように定義される:

    ζ(s)=n=11ns=11s+12s+13s+\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}=\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\cdots

    (リーマンの)ゼータ関数のごく基本的な話をざっくりと解説します。

    → ゼータ関数の定義と基本的な話

    テイラーの定理の例と証明

    テイラーの定理:

    f(x)f(x)axba\leq x\leq b において nn 回微分可能なとき,

    f(b)=k=0n1f(k)(a)(ba)kk!+f(n)(c)(ba)nn!f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(b-a)^n}{n!}

    を満たす c(a<c<bc\:(a <c <b )が存在する。

    テイラー展開の根拠となる非常に重要な定理です。

    → テイラーの定理の例と証明

    変数分離形の微分方程式の解法と例題

    微分方程式について簡単に述べた後,微分方程式の最も基本的なパターンの一つ「変数分離形微分方程式」を解説します。数検1級や大学の期末試験でも頻出です。

    → 変数分離形の微分方程式の解法と例題

    一般化二項定理とルートなどの近似

    一般化二項定理:

    x<1|x|<1 なる複素数 xx と,任意の複素数 α\alpha に対して

    (1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2+(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots

    が成立する。

    → 一般化二項定理とルートなどの近似

    各点収束と一様収束の違いと具体例

    関数列の収束には「各点収束」と「一様収束」という二つの概念があり,一様収束の方が強い。

    → 各点収束と一様収束の違いと具体例

    絶対収束と条件収束の意味と具体例

    無限級数の絶対収束と条件収束について。絶対収束なら収束することの証明,絶対収束するとなぜ嬉しいのか。

    → 絶対収束と条件収束の意味と具体例

    放射性炭素年代測定法の原理と微分方程式

    動物や植物などが死んでからどれくらい経過したのかを推定する方法である「放射性炭素年代測定法」について解説します。簡単な微分方程式が登場します。

    → 放射性炭素年代測定法の原理と微分方程式

    sup(上限)とinfの意味,maxとの違い

    要素が実数である集合 AA に対して

    maxA\max AAA の最大値,maximum(英語),マックス(読み方の例)

    minA\min AAA の最小値,minimum,ミン

    supA\sup AAA の上限,supremum,スープ

    infA\inf AAA の下限,infimum,インフ

    大学の解析のしょっぱなで学ぶ sup\sup の意味について解説します。

    → sup(上限)とinfの意味,maxとの違い

    C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例

    一変数関数 f(x)f(x) が以下を満たすとき,C1C^1 級関数であると言う。

    ・ 微分可能

    f(x)f'(x) が連続

    連続微分可能,連続的微分可能と言うこともあります。

    → C1級関数 Cn級関数などの意味と具体例

    ロルの定理,平均値の定理とその証明

    1.最大値の原理を用いてロルの定理を証明

    2.ロルの定理を用いて平均値の定理を証明

    という有名な流れを解説。

    → ロルの定理,平均値の定理とその証明

    フーリエ級数展開の公式と意味

    フーリエ級数展開:

    f(x)f(x) が周期 TT の「まともな」関数なら

    f(x)=a02+n=1(ancos2πnxT+bnsin2πnxT)f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)

    ただし,

    an=2T0Tf(x)cos2πnxTdxa_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx

    bn=2T0Tf(x)sin2πnxTdxb_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}dx

    → フーリエ級数展開の公式と意味

    多変数関数の極値判定とヘッセ行列

    多変数関数が極値を取るための必要条件,極大点であるための十分条件,極小点であるための十分条件について。

    → 多変数関数の極値判定とヘッセ行列

    複素数型のフーリエ級数展開とその導出

    フーリエ級数展開には

    実三角関数 sinnx,cosnx\sin nx,\cos nx で展開する表現と

    複素指数関数 einxe^{inx} で展開する表現がある。

    今回のメインは複素数型のフーリエ級数展開です。

    → 複素数型のフーリエ級数展開とその導出

    偏微分の順序交換の十分条件とその証明

    実用上多くの場合,偏微分の順序交換が可能。

    つまり fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}

    偏微分の順番を交換できるための十分条件,交換不可能な例などを整理しました。

    → 偏微分の順序交換の十分条件とその証明

    二変数関数のテイラー展開の意味と具体例

    二変数関数 f(x,y)f(x,y)Cn+1C^{n+1} 級なら,

    f(a+h,b+k)t=0n1t!(hx+ky)tf(a,b)f(a+h,b+k)\simeq\displaystyle\sum_{t=0}^n\dfrac{1}{t!}(h\dfrac{\partial}{\partial x}+k\dfrac{\partial}{\partial y})^tf(a,b)

    (x,y)=(a,b)(x,y)=(a,b) における nn 次までのテイラー展開)

    多変数関数のテイラー展開の意味と具体例を解説します。三変数以上でもほぼ同様なので二変数関数の場合で説明します。

    → 二変数関数のテイラー展開の意味と具体例

    ヤコビ行列,ヤコビアンの定義と極座標の例

    微分係数の多変数関数バージョンであるヤコビ行列,およびヤコビアンについて解説します。具体例として,二次元,三次元極座標変換の場合にヤコビアンを求めてみます。

    → ヤコビ行列,ヤコビアンの定義と極座標の例

    微分方程式の階数,線形性などの意味と具体例

    微分方程式の基本的な分類(常,偏,階数,線形性,同次,非同次)について解説。後半では物理で登場する様々な具体例を通じて理解を深めます。

    → 微分方程式の階数,線形性などの意味と具体例

    三次元極座標についての基本的な知識

    三次元極座標の基本的な知識(変換式,ヤコビアン,重積分の変換公式など)を整理しました。

    → 三次元極座標についての基本的な知識

    勾配ベクトルの意味と例題

    偏微分係数を並べたものを勾配ベクトルと言う。

    ベクトル解析の基本的な概念「勾配ベクトル」について解説します。

    → 勾配ベクトルの意味と例題

    ノルムの意味とL1,L2,L∞ノルム

    nn 次元ベクトル xundefined=(x1,x2,,xn)\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n) および 1p<1\leq p< \infty なる pp に対して

    x1p+x2p++xnpp\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}

    xundefined\overrightarrow{x}LpL^p ノルムと言い,xundefinedp\|\overrightarrow{x}\|_p と書く。

    → ノルムの意味とL1,L2,L∞ノルム

    直交多項式の意味といくつかの例

    どの二つを取っても互いに直交するような多項式の集合を直交多項式系と言う。

    → 直交多項式の意味といくつかの例

    連鎖律(多変数関数の合成関数の微分)

    連鎖律とは,高校数学で習う合成関数の微分公式を多変数関数に拡張した公式です。例えば,2変数関数の場合,以下のようになります。

    (x,y)(x,y) から (u,v)(u,v) が定まり,(u,v)(u,v) から ff が定まるとき,

    fx=fuux+fvvx\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}

    fy=fuuy+fvvy\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}

    → 連鎖律(多変数関数の合成関数の微分)

    コーシーリーマンの関係式と微分可能性

    f(z)f(z) が複素関数の意味で微分可能

        \iff

    f(z)f(z) の実部と虚部が2変数実関数の意味で全微分可能,かつコーシーリーマンの関係式が成立する。

    → コーシーリーマンの関係式と微分可能性

    重積分の計算方法と例題3問

    この記事では重積分の計算方法を,例題を通じて解説します。重積分の厳密な定義や順序交換の条件などは専門書を読んで下さい。

    なお,二重積分のみ扱います。三重積分なども同様に計算できます。

    → 重積分の計算方法と例題3問

    収束半径の意味と求め方

    べき級数 n=0anzn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n に対して,以下を満たす ρ\rho (ただし 0ρ0\leq \rho \leq\infty )が存在する:

    z<ρ|z| < \rho ならこのべき級数は収束

    z>ρ|z| > \rho ならこのべき級数は発散

    このような ρ\rho をべき級数の収束半径と言います。

    → 収束半径の意味と求め方

    イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

    関数や数列の極限を厳密に議論するために必要な,イプシロンデルタ論法,イプシロンエヌ論法について解説します。

    → イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

    線形補間の計算式と近似誤差

    関数 y=f(x)y=f(x) が2点 (x1,y1)(x_1,y_1)(x2,y2)(x_2,y_2) を通ることがわかっているとする。このとき,関数 f(x)f(x) を,2点を通る線分:

    y=y1+y2y1x2x1(xx1)y=y_1+\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)

    で近似する手法を線形補間と言う。

    → 線形補間の計算式と近似誤差