解析

$\displaystyle\int \exp(-\dfrac{1}{2}x^{\top}Ax+b^{\top}x)dx=\sqrt{\dfrac{(2\pi)^n}{\det A}}\exp (\dfrac{1}{2}b^{\top}A^{-1}b)$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

実数全体で定義され，有理数のときに $1$ ，無理数のときに $0$ を取る関数をディリクレ関数と言う。

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (x\in \mathbb{Q}) \\ 0 & (\mathrm{otherwise}) \end{array} \right.$

$f(x)$ が $a\leq x\leq b$ において $n$ 回微分可能なとき，

$f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(b-a)^n}{n!}$

を満たす $c\:(a <c <b$ ）が存在する。

$|x|<1$ なる複素数 $x$ と，任意の複素数 $\alpha$ に対して

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$

が成立する。

$f(x)$ が周期 $T$ の「まともな」関数なら

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$

ただし，

$a_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

$b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

楕円曲線 $E$ の階数は，$E$ の $L$ 関数 $L(s, E)$ の $s=1$ における零点の位数に等しい。

同次形の微分方程式とは，ある関数 $f$ を用いて $$\dfrac{dx}{dt} = f\left( \dfrac{x}{t} \right)$$ と表せる微分方程式のことです。

1. 変数を消去する
2. 良い関数を作る
3. 行列の指数関数を用いる

$$\dfrac{dx}{dt} = f(t) x^2+ g(t) x +h(t)$$

という形の微分方程式をリッカチ(Riccati)の微分方程式と言う。ただし $f(t),g(t),h(t)$ は与えられた $t$ の関数である。

可積分関数 $f(x)$ のフーリエ変換（Fourier transform）$\hat{f}(\xi)$ を $$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx$$

と定める（可積分関数とは $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty$ を満たす関数のこと）。

数列 $a_n$ の上極限とは，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $a_n$ の上極限を $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n$ と書く。

数列 $a_n$ の下極限とは，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $a_n$ の下極限を $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varliminf_{n\to\infty} a_n$ と書く。

(単純)閉曲線 $C$ と，$C$ で囲まれた領域 $D$ を考える。$D$ 上で $C^1$ 級の任意の関数 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ に対して以下が成り立つ。

$$\oint_{C} (P(x,y) \; dx + Q(x,y) \; dy) = \iint_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dxdy$$

$f$ を単連結な（つながっていて穴がない）領域 $D$ 内で正則な複素関数とする。$C$ は $D$ 内の単純閉曲線（自分自身と交わらない閉じた曲線）とする。 このとき $$\oint_{C} f(z) \; dz = 0$$ である。

• $D$ を単純閉曲線（自分と交わらない閉じた曲線）で囲まれた領域とする。
• $f$ を領域 $\overline{D} = D \cup \partial D$ で正則な関数とする。

このとき $D$ の内部の任意の点 $z$ で $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$ となる（線積分の向きは反時計回り）。

$0 < |z-a| < R$ で正則（微分可能）な複素関数 $f(z)$ は，以下のようにべき級数展開できる。 $$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n$$ ただし，各係数 $a_n$ は $$a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta - a| = r} \dfrac{f(z)}{(\zeta - a)^{n+1}} \; d\zeta$$ で計算できる （$r$ は $0 < r < R$ を満たす実数ならなんでもよい）。

$\displaystyle\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx$

という式について，

1. $f_n(x)$ が一様収束するなら成立する（十分条件）
2. ただし，一般には成立しない
3. 一様収束しなくても成立することがある（単調収束・一様有界など他の十分条件がある）

• 単連結な領域 $D$ 内に，区分的になめらかな単純閉曲線 $C$ がある
• $f(z)$ は $D$ 内で有限個の点 $\{a_1 , a_2 \cdots ,a_n\}$ を除いて正則

このとき，

$\displaystyle\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} f(z) \; dz$ = $\displaystyle\sum_{i=1}^n \mathrm{Res} (f , a_i)$

ただし，$\mathrm{Res} (f , a_i)$ は $f(z)$ の $z=a_i$ での留数とする。

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{dt}{2+\cos t}$
2. $\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\cos 2\theta}{1-2 a \cos \theta +a^2} d\theta \quad (|a| < 1)$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} \; dx$
4. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin x^2 \; dx$
5. $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2} \cos (ax) \; dx \quad (a>0)$

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+1}$
2. $\displaystyle p.v. \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^4-1}$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^3+1}$

なお $p.v. \int$ は主値積分を意味する。（補足を参照）

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)}$
2. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} \;dx$

複素平面 $\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を整関数という。有界な整関数は定数関数のみである。

複素数係数の $n$ 次方程式は複素数の範囲で（重複度も含めて）$n$ 個の解を持つ。

$f$ は，$a$ を孤立特異点として持つ $\Delta (a,R) \backslash \{ a \} = \{ z \mid 0 < |z-a| < R \}$ 上で正則な関数とする。

$f$ が $\Delta (a,R) \backslash \{ a \}$ 上で有界であれば，$a$ は除去可能特異点となる。

すなわち，$f$ が $\Delta (a,R) \backslash \{ a \}$ 上で有界であれば，$f$ は $\Delta (a,R)$ 上でも正則となる。