解析

一般に複素数の指数関数は，実数の指数関数及び三角関数を用いて以下のように定義される：

$e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)\hspace{15mm}(a,b \in \mathbb{R})$

多変数のガウス積分：

$\displaystyle\int \exp(-\dfrac{1}{2}x^{\top}Ax+b^{\top}x)dx=\sqrt{\dfrac{(2\pi)^n}{\det A}}\exp (\dfrac{1}{2}b^{\top}A^{-1}b)$

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

が成立するとき，関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続という。

また，定義域（考えている区間内）の任意の点 $a$ で関数 $f$ が連続のとき，$f$ を連続関数と呼ぶ。

フレネル積分：

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。

ディリクレ関数：

実数全体で定義され，有理数のときに $1$ ，無理数のときに $0$ を取る関数をディリクレ関数と言う。

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (x\in \mathbb{Q}) \\ 0 & (\mathrm{otherwise}) \end{array} \right.$

$s > 1$ なる実数に対してゼータ関数 $\zeta(s)$ は以下のように定義される：

$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}=\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\cdots$

テイラーの定理：

$f(x)$ が $a\leq x\leq b$ において $n$ 回微分可能なとき，

$f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(b-a)^n}{n!}$

を満たす $c\:(a <c <b$ ）が存在する。

一般化二項定理：

$|x|<1$ なる複素数 $x$ と，任意の複素数 $\alpha$ に対して

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$

が成立する。

関数列の収束には「各点収束」と「一様収束」という二つの概念があり，一様収束の方が強い。

要素が実数である集合 $A$ に対して

$\max A$：$A$ の最大値，maximum(英語)，マックス(読み方の例)

$\min A$：$A$ の最小値，minimum，ミン

$\sup A$：$A$ の上限，supremum，スープ

$\inf A$：$A$ の下限，infimum，インフ

一変数関数 $f(x)$ が以下を満たすとき，$C^1$ 級関数であると言う。

・ 微分可能

・ $f'(x)$ が連続

フーリエ級数展開：

$f(x)$ が周期 $T$ の「まともな」関数なら

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$

ただし，

$a_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

$b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

フーリエ級数展開には

実三角関数 $\sin nx,\cos nx$ で展開する表現と

複素指数関数 $e^{inx}$ で展開する表現がある。

実用上多くの場合，偏微分の順序交換が可能。

つまり $f_{xy}=f_{yx}$

二変数関数 $f(x,y)$ が $C^{n+1}$ 級なら，

$f(a+h,b+k)\simeq\displaystyle\sum_{t=0}^n\dfrac{1}{t!}(h\dfrac{\partial}{\partial x}+k\dfrac{\partial}{\partial y})^tf(a,b)$

（$(x,y)=(a,b)$ における $n$ 次までのテイラー展開）

偏微分係数を並べたものを勾配ベクトルと言う。

$n$ 次元ベクトル $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ および $1\leq p< \infty$ なる $p$ に対して

$\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$

を $\overrightarrow{x}$ の $L^p$ ノルムと言い，$\|\overrightarrow{x}\|_p$ と書く。

どの二つを取っても互いに直交するような多項式の集合を直交多項式系と言う。

$(x,y)$ から $(u,v)$ が定まり，$(u,v)$ から $f$ が定まるとき，

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}$

$f(z)$ が複素関数の意味で微分可能

$\iff$

$f(z)$ の実部と虚部が2変数実関数の意味で全微分可能，かつコーシーリーマンの関係式が成立する。

べき級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ に対して，以下を満たす $\rho$ （ただし $0\leq \rho \leq\infty$ ）が存在する：

$|z| < \rho$ ならこのべき級数は収束

$|z| > \rho$ ならこのべき級数は発散

関数 $y=f(x)$ が2点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ を通ることがわかっているとする。このとき，関数 $f(x)$ を，2点を通る線分：

$y=y_1+\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

で近似する手法を線形補間と言う。