解析

$\displaystyle\int \exp \left( -\dfrac{1}{2}x^{\top}Ax+b^{\top}x \right) dx = \sqrt{\dfrac{(2\pi)^n}{\det A}}\exp \left(\dfrac{1}{2}b^{\top}A^{-1}b \right)$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

実数全体で定義され，有理数のときに $1$ ，無理数のときに $0$ を取る関数をディリクレ関数と言う。

$$f(x) = \begin{cases} 1 & (x\in \mathbb{Q}) \\ 0 & (\mathrm{otherwise}) \end{cases}$$

$f(x)$ が $a\leq x\leq b$ において $n$ 回微分可能なとき，

$f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(b-a)^n}{n!}$

を満たす $c\:(a < c < b$ ）が存在する。

$|x| < 1$ なる複素数 $x$ と，任意の複素数 $\alpha$ に対して

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$

が成立する。

$f(x)$ が周期 $T$ の「まともな」関数なら

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)$

ただし，

$a_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

$b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\sin\dfrac{2\pi nx}{T}dx$

楕円曲線 $E$ の階数は，$E$ の $L$ 関数 $L(s, E)$ の $s=1$ における零点の位数に等しい。

同次形の微分方程式とは，ある関数 $f$ を用いて $$\dfrac{dx}{dt} = f\left( \dfrac{x}{t} \right)$$ と表せる微分方程式のことです。

1. 変数を消去する
2. 良い関数を作る
3. 行列の指数関数を用いる

$$\dfrac{dx}{dt} = f(t) x^2+ g(t) x +h(t)$$

という形の微分方程式をリッカチ(Riccati)の微分方程式と言う。ただし $f(t),g(t),h(t)$ は与えられた $t$ の関数である。

可積分関数 $f(x)$ のフーリエ変換（Fourier transform）$\hat{f}(\xi)$ を $$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx$$

と定める（可積分関数とは $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty$ を満たす関数のこと）。

数列 $a_n$ の上極限とは，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $a_n$ の上極限を $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n$ と書く。

数列 $a_n$ の下極限とは，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $a_n$ の下極限を $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varliminf_{n\to\infty} a_n$ と書く。

(単純)閉曲線 $C$ と，$C$ で囲まれた領域 $D$ を考える。$D$ 上で $C^1$ 級の任意の関数 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ に対して以下が成り立つ。

$$\oint_{C} (P(x,y) \; dx + Q(x,y) \; dy) = \iint_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dxdy$$

$f$ を単連結な（つながっていて穴がない）領域 $D$ 内で正則な複素関数とする。$C$ は $D$ 内の単純閉曲線（自分自身と交わらない閉じた曲線）とする。 このとき $$\oint_{C} f(z) \; dz = 0$$ である。

• $D$ を単純閉曲線（自分と交わらない閉じた曲線）で囲まれた領域とする。
• $f$ を領域 $\overline{D} = D \cup \partial D$ で正則な関数とする。

このとき $D$ の内部の任意の点 $z$ で $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$ となる（線積分の向きは反時計回り）。

$0 < |z-a| < R$ で正則（微分可能）な複素関数 $f(z)$ は，以下のようにべき級数展開できる。 $$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n$$ ただし，各係数 $a_n$ は $$a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta - a| = r} \dfrac{f(z)}{(\zeta - a)^{n+1}} \; d\zeta$$ で計算できる （$r$ は $0 < r < R$ を満たす実数ならなんでもよい）。

$\displaystyle\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx$

という式について，

1. $f_n(x)$ が一様収束するなら成立する（十分条件）
2. ただし，一般には成立しない
3. 一様収束しなくても成立することがある（単調収束・一様有界など他の十分条件がある）

• 単連結な領域 $D$ 内に，区分的になめらかな単純閉曲線 $C$ がある
• $f(z)$ は $D$ 内で有限個の点 $\{a_1 , a_2 \cdots ,a_n\}$ を除いて正則

このとき，

$\displaystyle\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} f(z) \; dz$ = $\displaystyle\sum_{i=1}^n \mathrm{Res} (f , a_i)$

ただし，$\mathrm{Res} (f , a_i)$ は $f(z)$ の $z=a_i$ での留数とする。

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{dt}{2+\cos t}$
2. $\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\cos 2\theta}{1-2 a \cos \theta +a^2} d\theta \quad (|a| < 1)$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} \; dx$
4. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin x^2 \; dx$
5. $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2} \cos (ax) \; dx \quad (a>0)$

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+1}$
2. $\displaystyle p.v. \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^4-1}$
3. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^3+1}$

なお $p.v. \int$ は主値積分を意味する。（補足を参照）

次の積分を求めよ。

1. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)}$
2. $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} \;dx$

複素平面 $\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を整関数という。有界な整関数は定数関数のみである。

複素数係数の $n$ 次方程式は複素数の範囲で（重複度も含めて）$n$ 個の解を持つ。

$f$ は，$a$ を孤立特異点として持つ $\Delta (a,R) \backslash \{ a \} = \{ z \mid 0 < |z-a| < R \}$ 上で正則な関数とする。

$f$ が $\Delta (a,R) \backslash \{ a \}$ 上で有界であれば，$a$ は除去可能特異点となる。

すなわち，$f$ が $\Delta (a,R) \backslash \{ a \}$ 上で有界であれば，$f$ は $\Delta (a,R)$ 上でも正則となる。

リーマン球面とは，複素平面 $\mathbb{C}$ に無限遠点 $\infty$ を追加したものである。リーマン球面を $\hat{\mathbb{C}} , \overline{\mathbb{C}}$ などと書く。

$D$ をなめらかな曲線に囲まれた有界な領域とする。

$f$ を $\partial D$ 上で極も零点も持たない $\overline{D}$ 上の有理型関数とする。

$f$ の $D$ 上の零点の（重複度を含めた）個数を $N$，極の（重複度を含めた）個数を $P$ とする。このとき $$\dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f' (z)}{f(z)} dz = N-P$$ である。

※領域 $D$ を囲うなめらかな曲線は，互いに交わらなければ複数個でも構いません。よって中心に穴が開いた領域にも偏角の原理を適応することができます。

ベルヌーイ数 $B_n$ を $$\dfrac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n$$ と定める。

• 実数の集合 $A$ に対して $A$ が有界であるとは，
  「ある実数 $m,M$ が存在して，任意の $x\in A$ に対して $m\leqq x\leqq M$」となることを意味する。

• $A$ 上の関数 $f$ が有界であるとは，$f(A) = \{ y \mid \exists x \in A , f(x) = y \}$ が有界であることを意味する。

実数列 $\{ a_n \}$ が有界であるとき，$\{ a_n \}$ は収束する部分列を持つ。

有界な閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数 $f$ は，最大値・最小値を取る。

2変数 $x,y$ を2変数 $u,v$ に変換する。

このとき $xy$ 平面上の領域 $D$ が $uv$ 上の領域 $E$ に一対一に対応するとき，$D$ 上の積分可能関数 $f$ は次のように計算される。 $$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_E f(x(u,v),y(u,v)) |J| dudv$$ ただし $J$ はヤコビアン $\begin{pmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{pmatrix}$ である。

円周率 $\pi$ は無理数である。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

$f,g$ を領域 $D$ 上の正則関数とする。

1. $f,g$ が $D$ 内のある線分・なめらかな曲線上（$D \cap \mathbb{R}$ など）で一致するとき，$D$ 全体でも一致する。
2. $f,g$ が $D$ 内の開集合 $O$ 上で一致するとき，$D$ 全体でも一致する。

※記事の後半でより一般的な主張を紹介します。

距離関数 $d$ を持つ集合 $X$ を 距離空間 といい $(X,d)$ と書く。

ただし，集合 $X$ に対して 距離関数 $d : X \times X \to \mathbb{R}_{\geqq 0}$ とは，次の3つの条件を満たす写像である。

1. 任意の $x,y \in X$ に対して，$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$（非退化性）
2. 任意の $x,y \in X$ に対して，$d(x,y)=d(y,x)$（対称性）
3. 任意の $x,y,z \in X$ に対して，$d(x,y) + d(y,z) \geqq d(x,z)$（三角不等式）

1. 有界な領域 $D$ 上の正則関数 $f (z)$ について，ある $z_0 \in D$ で $|f|$ が最大値を取るとき，$f$ は定数関数である。

次のように言い換えることができる。

• $D$ 上の定数ではない正則関数 $f$ に対して，$|f|$ は $D$ 内で最大値を取らない。

特に $f$ が $\overline{D} = D \cup \partial D$ 上で連続であるとき，$|f|$ は $\partial D$ 上で最大値を取る。

$e^{\pi} > \pi^e$ を証明せよ。

（実数上の）楕円曲線とは， $$y^2 = x^3 + ax + b$$ により表される曲線である。ただし，$x^3 + ax + b = 0$ は重解を持たないとする。