解析
オイラーの公式と複素指数関数
高校数学では三角関数や指数関数の定義域は実数ですが,一般に複素数の三角関数や指数関数を考えることもできます。
一般に複素数の指数関数は,実数の指数関数及び三角関数を用いて以下のように定義される:
複素数の対数関数とiのi乗の主値が実数であること
虚数単位 の 乗はいくらなのか?というのを目標に,複素数の対数関数と指数関数について解説します。
変数分離形の微分方程式の解法と例題
微分方程式について簡単に述べた後,微分方程式の最も基本的なパターンの一つ「変数分離形微分方程式」を解説します。数検1級や大学の期末試験でも頻出です。
放射性炭素年代測定法の原理と微分方程式
動物や植物などが死んでからどれくらい経過したのかを推定する方法である「放射性炭素年代測定法」について解説します。簡単な微分方程式が登場します。
sup(上限)とinfの意味,maxとの違い
要素が実数である集合 に対して
: の最大値,maximum(英語),マックス(読み方の例)
: の最小値,minimum,ミン
: の上限,supremum,スープ
: の下限,infimum,インフ
大学の解析のしょっぱなで学ぶ の意味について解説します。
C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例
一変数関数 が以下を満たすとき, 級関数であると言う。
・ 微分可能
・ が連続
連続微分可能,連続的微分可能と言うこともあります。
複素数型のフーリエ級数展開とその導出
フーリエ級数展開には
実三角関数 で展開する表現と
複素指数関数 で展開する表現がある。
今回のメインは複素数型のフーリエ級数展開です。
偏微分の順序交換の十分条件とその証明
実用上多くの場合,偏微分の順序交換が可能。
つまり
偏微分の順番を交換できるための十分条件,交換不可能な例などを整理しました。
二変数関数のテイラー展開の意味と具体例
二変数関数 が 級なら,
( における 次までのテイラー展開)
多変数関数のテイラー展開の意味と具体例を解説します。三変数以上でもほぼ同様なので二変数関数の場合で説明します。
ヤコビ行列,ヤコビアンの定義と極座標の例
微分係数の多変数関数バージョンであるヤコビ行列,およびヤコビアンについて解説します。具体例として,二次元,三次元極座標変換の場合にヤコビアンを求めてみます。
微分方程式の階数,線形性などの意味と具体例
微分方程式の基本的な分類(常,偏,階数,線形性,同次,非同次)について解説。後半では物理で登場する様々な具体例を通じて理解を深めます。
連鎖律(多変数関数の合成関数の微分)
連鎖律とは,高校数学で習う合成関数の微分公式を多変数関数に拡張した公式です。例えば,2変数関数の場合,以下のようになります。
から が定まり, から が定まるとき,
重積分の計算方法と例題3問
この記事では重積分の計算方法を,例題を通じて解説します。重積分の厳密な定義や順序交換の条件などは専門書を読んで下さい。
なお,二重積分のみ扱います。三重積分なども同様に計算できます。
収束半径の意味と求め方
べき級数 に対して,以下を満たす (ただし )が存在する:
ならこのべき級数は収束
ならこのべき級数は発散
このような をべき級数の収束半径と言います。
BSD予想の主張の解説
楕円曲線 の階数は, の 関数 の における零点の位数に等しい。
ミレニアム懸賞問題とは,100万ドルの懸賞金がかけられている,数学における重要な7つの難問です。→ミレニアム懸賞問題の概要と大雑把な説明
このページでは,ミレニアム懸賞問題の1つであるBSD予想についてざっくりと説明します。特に楕円曲線について詳しく解説し, 関数については簡単に触れる程度とします。