微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)

この記事では，$t$ の関数 $x(t)$ が未知関数の微分方程式を考えます。

同次形の微分方程式とは，ある関数 $f$ を用いて $$\dfrac{dx}{dt} = f\left( \dfrac{x}{t} \right)$$ と表せる微分方程式のことです。同次形は変数分離形に帰着できます。

具体的には，$u = \dfrac{x}{t}$ とおきます。$x=ut$ であり積の微分公式から $$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}u \cdot t+ u \dfrac{d}{dt} t = t \dfrac{du}{dt} + u$$ となるので，もとの微分方程式は $$t \dfrac{du}{dt} +u = f(u)\\ \dfrac{du}{dt} = \dfrac{f(u) -u}{t}$$ となります。これは変数分離形です。

線形微分方程式とは，

$1,x,\dfrac{dx}{dt},\dfrac{d^2x}{dt^2},\cdots$ の線形結合$=0$

という形で表せる微分方程式のことです。ただし，ここでいう線形結合とは「重みが $t$ のみの関数である重みつき和」のことです。

線形微分方程式の例としては，

$$\dfrac{dx}{dt} + 2 x = 0,\\ \dfrac{d^2x}{dt^2} -\dfrac{dx}{dt}-2x = t^2$$ などがあります。

• 特に1番目のように「$1$」の係数が $0$ であるもの（つまり，$x$ や $\dfrac{dx}{dt}$ などの $x$ の導関数以外の関数を含まないもの）を斉次といい，2番目のようにそうではないものを非斉次といいます。

• また，1番目のように登場する微分係数が1階微分までのものを1階線形微分方程式，2番目のように2階微分までのものを2階線形微分方程式といいます。より一般に $n$ 階微分まで登場する場合，$n$ 階といいます。

• この2つの例のように，「1」以外の係数が $t$ に依存しないものを定数係数線形微分方程式と呼ぶこともあります。

今回は1変数のパターンを考えていますが，2変数以上の連立微分方程式を扱うこともあります。詳しくは連立微分方程式の3通りの解き方を参照してください。

1階の斉次線形微分方程式

1階の斉次線形微分方程式は $$\dfrac{dx}{dt} + a_0 x = 0$$ という形になります。これは変数分離形なので，以下のように解けます。 $$\dfrac{dx}{x} = -a_0 \; dt\\ \int \dfrac{dx}{x} = -\int a_0 \; dt\\ \log |x| = -a_0t +C\\ x = C e^{-a_0 t}$$

2階の斉次線形微分方程式

2階の斉次線形微分方程式は $$\dfrac{d^2x}{dt^2} +a_1 \dfrac{dx}{dt} +a_0 x = 0$$ という形になります。ここで，二次方程式 $\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 =0$ の解を $\alpha$，$\beta$ と置きます。

まず $\alpha \neq \beta$ のときを考えましょう。

もとの微分方程式の左辺に $e^{\alpha t}$ を代入すると， $$\begin{aligned} &\dfrac{d^2x}{dt^2} +a_1 \dfrac{dx}{dt} + a_0 x \\ &=\alpha^2 e^{\alpha t} + a_1 \alpha e^{\alpha t} + a_0 e^{\alpha t} \\ &=(\alpha^2 +a_1 \alpha + a_0) e^{\alpha t} = 0 \end{aligned}$$ となります。したがって $x = e^{\alpha t}$ はもとの微分方程式の解となります。同様に $x = e^{\beta t}$ も解となります。これらを定数倍して足したものも解になります。つまり，$x = C_1 e^{\alpha t} + C_2 e^{\beta t}$ という形の関数はすべて解になります。実はこれが解のすべてになります。

次に $\alpha = \beta$ のときを考えましょう。$x = e^{\alpha t}$ が解となることは先ほど同様に示せます。さらに $x = t e^{\alpha t}$ という関数を考えます： $$\begin{aligned} \dfrac{dx}{dt} &= e^{\alpha t} + \alpha te^{\alpha t}\\ \dfrac{d^2 x}{dt^2} &= \alpha e^{\alpha t} +\alpha e^{\alpha t} + \alpha^2 t e^{\alpha t}\\ &= 2\alpha e^{\alpha t} + \alpha^2 t e^{\alpha t} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} &\dfrac{d^2x}{dt^2} +a_1 \dfrac{dx}{dt} + a_0 x \\ &= 2\alpha e^{\alpha t} + \alpha^2 t e^{\alpha t} \\ &\quad + a_1 (e^{\alpha t} + \alpha te^{\alpha t}) + a_0 t e^{\alpha t}\\ &= (2\alpha +a_1)e^{\alpha t} \\ &\quad + (\alpha^2 +a_1 \alpha + a_0) te^{\alpha t}\\ &= 0 \end{aligned}$$ となります。こうして $x = t e^{\alpha t}$ も解になります。$x = C_1 e^{\alpha t} + C_2 t e^{\alpha t}$ が一般解となります。

一般に2階の線形微分方程式の一般解は，独立する2つの解の線形結合となります。すなわち $x_1(t)$ と $x_2(t)$ が独立する解として得られた場合，一般解は $C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t)$ となります。なお，ここでいう「独立」とは，一方がもう一方の定数倍になっていないことを意味します。

具体例：単振動の微分方程式

物理における単振動について，斉次微分方程式の知識を用いて考察します。

質量 $m$ の重りが，バネ係数 $k$ であるバネにつるされて振動するケースを考えます。このときの運動方程式は $$ma = -kx$$ でした。$a = \dfrac{d^2 x}{dt^2}$ と表せるので，単振動の式は斉次線形微分方程式 $$\dfrac{d^2 x}{dt^2} + \dfrac{k}{m} x =0$$ になります。$\sqrt{\dfrac{k}{m}} = \omega$ とおきましょう。

解法1

この微分方程式から得られる2次方程式は $\lambda^2 + \omega^2 = 0$ です。この解は $\lambda = \pm \omega i$ となります。こうして一般解は $$x = C_1 e^{\omega it} + C_2 e^{-\omega i t}$$ となります。ここでオイラーの公式を用いると $$e^{\omega it} = \cos \omega t + i \sin \omega t\\ e^{-\omega it} = \cos \omega t - i \sin \omega t$$ であるので， $$x = (C_1 + C_2) \cos \omega t + (C_1 - C_2) i \sin \omega t$$ が得られます。解に虚数が入っていて大丈夫なのかと不安に思うかもしれませんが，初期条件を代入して $C_1,C_2$ を具体的に求めると，うまく虚数が消えます。

解法2

先ほど2階の線形微分方程式の一般解は，2つの独立する解の線形結合で表されると述べました。ここで $x = \cos \omega t$ として元の方程式に代入してみましょう。 $$\begin{aligned} &\dfrac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x \\ &= - \omega^2 \cos \omega t + \omega^2 \cos \omega t =0 \end{aligned}$$ このように解になることが分かります。$x = \sin \omega t$ も同様に解になります。もちろん $\cos \omega t$ は $\sin \omega t$ の定数倍になることはありません。したがって一般解はこれら2つの線形結合であり $$x = C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t$$となります。

非斉次な場合の解法も紹介します。

1階非斉次の場合（定数変化法）

定数変化法という手法を用います。この方法は大きく5つのステップから成ります。

実際に解いてみましょう。

ステップ4で $C(t)$ が満たす微分方程式が変数分離形になりましたが，実はこれは偶然ではありません。気になる人は実際に計算してみてください。

2階非斉次の場合

定数変化法を用いることもできますが，その場合行列の計算が必要です。ここでは別の手法を紹介します。

冒頭でも紹介した以下の非斉次方程式を解いてみましょう。

特殊解の求め方：

• 特殊解を $x = at^2 +bt +c$ という形だと予想して，実際に代入して係数を決定しました。多くの場合，特殊解は「余分な項」の形に近くなります。

• また $$e^{2t} \int_0^t e^{-2s} \left\{e^{-s} \int_0^s e^{r} r^2 \; dr \right\} \; ds$$ という式で計算することもできます。証明は省きますが，一般に $$\dfrac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \dfrac{dx}{dt} + a_0 x = f(t)$$ の特殊解は，$\lambda^2 + a_1 \lambda +a_0=0$ の2解を $\alpha , \beta$ とすると， $$e^{\alpha t} \int_0^t e^{-\alpha s} \left\{ e^{\beta s} \int_0^s e^{-\beta r} f(r) \; dr \right\} \; ds$$ と計算できます。

具体例：強制振動の微分方程式

高校物理では登場しませんが，外部から力を受ける単振動を考えることができます。これを強制振動と表現することがあります。

ここで $\omega = 1$ の場合はどうなるのか気になる人も多いと思います。この場合，特殊解としては $x = \dfrac{1}{2} t \sin t$ が取れます。