微分方程式の階数，線形性などの意味と具体例

常微分方程式：未知の一変数関数 $y(x)$ とその導関数 $y',y^{(2)},\cdots$ を含む方程式

偏微分方程式：未知の多変数関数 $f(x,y,\cdots)$ とその偏導関数 $f_x,f_y,f_{xx},\cdots$ を含む方程式

以下，主に常微分方程式で説明しますが，階数や線形性などの定義は偏微分方程式の場合も同様です。

最大 $n$ 階の導関数が登場するような微分方程式を$n$ 階の微分方程式と言います。

$y^2$ や $yy'$ などの項を含まない以下のような微分方程式を 線形微分方程式と言います：

$P_n(x)y^{(n)}+P_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +P_1(x)y'+P_0(x)y=Q(x)$

$P_i(x)$ たちがどんなに複雑な関数でも，線形微分方程式と言います。

また，$P_i(x)$ たちが全て定数（$Q(x)$ は定数でなくてもよい）である微分方程式を定数係数線形微分方程式と言います。

線形微分方程式において，

同次微分方程式：ゼロでない項は必ず $y,y',y^{(2)},\cdots$ のいずれかを含むもの，つまり $Q(x)=0$ のもの

非同次微分方程式：同次でないもの，つまり $Q(x)\neq 0$ のもの

なお，線形同次微分方程式には以下のような嬉しい性質 （重ね合わせの原理）が成立します。

物理で登場する多くの方程式は線形同次微分方程式です！

・バネの運動方程式

$mx^{(2)}=-kx$

二階の定数係数線形常微分方程式（同次）

・強制振動

$mx^{(2)}+kx=F\cos\omega t$

二階の定数係数線形常微分方程式（非同次）

・LR回路

$V=RI+L\dfrac{dI}{dt}$

一階の定数係数線形常微分方程式（非同次）

・一次元の波動方程式

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=c^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

二階の定数係数線形偏微分方程式（同次）

・三次元のポアソン方程式

$\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}=f(x,y,z)$

二階の定数係数線形偏微分方程式（非同次）

$f\equiv 0$ としたものがラプラス方程式です。