二次曲線

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全ての放物線が相似であることの証明

全ての放物線は互いに相似である。

このページでは「放物線の相似」について解説します。

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放物線の準線・焦点と一般化

直線 ll と点 PP からの距離が等しい点の集合は放物線である。 ll をこの放物線の準線,PP を焦点と呼ぶ。

軌跡に関する基本的な知識であり,二次曲線の基本的な公式でもあります。

前半は教科書レベル,後半はこの公式のある種の一般化です。

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楕円の面積公式の3通りの導出

楕円の面積公式: x2a2+y2b2=1(a,b>0)\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \:(a, b > 0) で表される楕円の面積 SSS=πabS=\pi ab

楕円の面積公式を3通りの方法で導出します。

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二次曲線の分類(四通りの方法)

二次曲線の分類

変数が二つの場合の二次曲線(楕円,双曲線,放物線)を四種類の特徴に注目して分類します。放物線はいろいろな意味で楕円と双曲線の境界にいることが分かります。

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パラボラアンテナの原理と放物線の性質

定理:パラボラアンテナの対称軸に対して平行に入射した信号は「焦点に」「同時に」届く。

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楕円,放物線,双曲線の準円

二次曲線の準円

二次曲線に対して,二本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。これを二次曲線の準円と言う。

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双曲線の漸近線の簡単な求め方と証明

双曲線の漸近線:

パターン1.双曲線 x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 の漸近線は y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x

また,

パターン2.双曲線 x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 の漸近線も y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x

ただし,この記事を通して a,b>0a,b > 0 とします。

双曲線の漸近線について,具体例,簡単な導出方法,きちんとした証明を解説します。

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楕円の周の長さの求め方と近似公式

楕円の周長:長軸の長さが 2a2a ,短軸の長さが 2b2b である楕円: x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 の周の長さは, L=2πa(t=0ct2ϵ2t12t)L=2\pi a\left(\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty} c_t^2\dfrac{\epsilon^{2t}}{1-2t}\right)

ただし,ϵ\epsilon は離心率で,ϵ2=1b2a2\epsilon^2=1-\dfrac{b^2}{a^2} を満たし,

c0=1c_0=1ct=(2t1)!!(2t)!!=(2t1)(2t3)12t(2t2)2(t1)c_t=\dfrac{(2t-1)!!}{(2t)!!}=\dfrac{(2t-1)(2t-3)\cdots 1}{2t(2t-2)\cdots 2}\:(t\geq 1)

楕円の周の長さは高校数学+アルファで求めることができます。最後に楕円の周の長さを求める近似式も紹介。

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二次曲線(楕円,放物線,双曲線)の極座標表示

r=l1+εcosθr=\dfrac{l}{1+\varepsilon\cos\theta}

l>0,ε0l > 0, \varepsilon\geq 0 )は二次曲線を表す。

ll は半直弦,ε\varepsilon は離心率と呼ばれます。離心率の値によって曲線の形状が変わります。

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直角双曲線の方程式と性質

二本の漸近線が直交するような双曲線を直角双曲線と言う。

二次曲線: x2y2=ax^2-y^2=a

(a0)(a\neq 0) は直角双曲線である。

反比例: xy=kxy=k も直角双曲線である。

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斜めの楕円の方程式(特に45度回転)

1.原点を中心とする楕円は,
Ax2+2Bxy+Cy2=1Ax^2+2Bxy+Cy^2=1A>0,C>0,ACB2>0A > 0, C > 0, AC-B^2 > 0
という方程式で表せる。

2.逆に,上記の方程式は原点を中心とする楕円を表す。

斜めの楕円の方程式の一般形について,上の二つの定理を証明し,特に45度回転の場合について考察します。

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楕円の反射定理とその証明

定理:楕円の焦点から出た光は,反射してから反対側の焦点を通る。

楕円に関する有名な定理です。証明するのは意外と(計算が)大変ですが,座標計算のよい練習になります。

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楕円の接線を求める公式とその証明

楕円 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 上の点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) における接線の方程式は,

x0xa2+y0yb2=1\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1

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離心率の意味と関連する計算

離心率とは

FF からの距離直線 ll からの距離の比が一定である点 PP の軌跡は二次曲線になる。この比のことを離心率と呼ぶ。 離心率とは

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楕円・双曲線の媒介変数表示の3通りの方法

二次曲線(円・楕円・双曲線)の媒介変数表示について,3通りの方法を紹介します。

  • 三角関数を使う方法
  • ワイエルシュトラス置換に関連する方法
  • 双曲線関数を使う方法

→ 楕円・双曲線の媒介変数表示の3通りの方法

楕円積分の意味と身近な4つの例

楕円積分の意味と,楕円積分が現れる4つの例を紹介します。

楕円積分(ルジャンドルの標準形)
  • E(k,ϕ)=0ϕ1k2sin2θdθE(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta
    のことを第二種楕円積分という。

  • F(k,ϕ)=0ϕ11k2sin2θdθF(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta
    のことを第一種楕円積分という。

→ 楕円積分の意味と身近な4つの例

双曲線

双曲線とは

2点からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線と言う。また,この2点のことを焦点と言う。

双曲線とは

→ 双曲線