二次曲線

    更新日時 2021/03/11

    放物線の準線・焦点と一般化

    直線 ll と点 PP からの距離が等しい点の集合は放物線である。 ll をこの放物線の準線,PP を焦点と呼ぶ。

    軌跡に関する基本的な知識であり,二次曲線の基本的な公式でもあります。

    前半は教科書レベル,後半はこの公式のある種の一般化です。

    → 放物線の準線・焦点と一般化

    楕円の面積公式の3通りの導出

    楕円の面積公式: x2a2+y2b2=1(a,b>0)\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \:(a, b > 0) で表される楕円の面積 SSS=πabS=\pi ab

    楕円の面積公式を3通りの方法で導出します。

    → 楕円の面積公式の3通りの導出

    二次曲線の分類(四通りの方法)

    二次曲線の分類

    変数が二つの場合の二次曲線(楕円,双曲線,放物線)を四種類の特徴に注目して分類します。放物線はいろいろな意味で楕円と双曲線の境界にいることが分かります。

    → 二次曲線の分類(四通りの方法)

    楕円,放物線,双曲線の準円

    二次曲線の準円

    二次曲線に対して,二本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。これを二次曲線の準円と言う。

    → 楕円,放物線,双曲線の準円

    双曲線の漸近線の簡単な求め方と証明

    双曲線の漸近線:

    パターン1.双曲線 x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 の漸近線は y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x

    また,

    パターン2.双曲線 x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 の漸近線も y=±baxy=\pm\dfrac{b}{a}x

    ただし,この記事を通して a,b>0a,b > 0 とします。

    双曲線の漸近線について,具体例,簡単な導出方法,きちんとした証明を解説します。

    → 双曲線の漸近線の簡単な求め方と証明

    楕円の周の長さの求め方と近似公式

    楕円の周長:長軸の長さが 2a2a ,短軸の長さが 2b2b である楕円: x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 の周の長さは, L=2πa(t=0ct2ϵ2t12t)L=2\pi a\left(\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty} c_t^2\dfrac{\epsilon^{2t}}{1-2t}\right)

    ただし,ϵ\epsilon は離心率で,ϵ2=1b2a2\epsilon^2=1-\dfrac{b^2}{a^2} を満たし,

    c0=1c_0=1ct=(2t1)!!(2t)!!=(2t1)(2t3)12t(2t2)2(t1)c_t=\dfrac{(2t-1)!!}{(2t)!!}=\dfrac{(2t-1)(2t-3)\cdots 1}{2t(2t-2)\cdots 2}\:(t\geq 1)

    楕円の周の長さは高校数学+アルファで求めることができます。最後に楕円の周の長さを求める近似式も紹介。

    → 楕円の周の長さの求め方と近似公式

    二次曲線(楕円,放物線,双曲線)の極座標表示

    r=l1+εcosθr=\dfrac{l}{1+\varepsilon\cos\theta}

    l>0,ε0l > 0, \varepsilon\geq 0 )は二次曲線を表す。

    ll は半直弦,ε\varepsilon は離心率と呼ばれます。離心率の値によって曲線の形状が変わります。

    → 二次曲線(楕円,放物線,双曲線)の極座標表示

    直角双曲線の方程式と性質

    二本の漸近線が直交するような双曲線を直角双曲線と言う。

    二次曲線: x2y2=ax^2-y^2=a

    (a0)(a\neq 0) は直角双曲線である。

    反比例: xy=kxy=k も直角双曲線である。

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    斜めの楕円の方程式(特に45度回転)

    1.原点を中心とする楕円は,
    Ax2+2Bxy+Cy2=1Ax^2+2Bxy+Cy^2=1A>0,C>0,ACB2>0A > 0, C > 0, AC-B^2 > 0
    という方程式で表せる。

    2.逆に,上記の方程式は原点を中心とする楕円を表す。

    斜めの楕円の方程式の一般形について,上の二つの定理を証明し,特に45度回転の場合について考察します。

    → 斜めの楕円の方程式(特に45度回転)

    楕円の反射定理とその証明

    定理:楕円の焦点から出た光は,反射してから反対側の焦点を通る。

    楕円に関する有名な定理です。証明するのは意外と(計算が)大変ですが,座標計算のよい練習になります。

    → 楕円の反射定理とその証明

    楕円の接線を求める公式とその証明

    楕円 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 上の点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) における接線の方程式は,

    x0xa2+y0yb2=1\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1

    → 楕円の接線を求める公式とその証明