二次曲線

全ての放物線は互いに相似である。

直線 $l$ と点 $P$ からの距離が等しい点の集合は放物線である。 $l$ をこの放物線の準線，$P$ を焦点と呼ぶ。

楕円の面積公式： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \:(a, b > 0)$ で表される楕円の面積 $S$ は $S=\pi ab$

定理：パラボラアンテナの対称軸に対して平行に入射した信号は「焦点に」「同時に」届く。

二次曲線に対して，二本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。これを二次曲線の準円と言う。

双曲線の漸近線：

パターン1．双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

また，

パターン2．双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ の漸近線も $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

楕円の周長：長軸の長さが $2a$ ，短軸の長さが $2b$ である楕円： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の周の長さは， $L=2\pi a\left(\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty} c_t^2\dfrac{\epsilon^{2t}}{1-2t}\right)$

ただし，$\epsilon$ は離心率で，$\epsilon^2=1-\dfrac{b^2}{a^2}$ を満たし，

$c_0=1$ ，$c_t=\dfrac{(2t-1)!!}{(2t)!!}=\dfrac{(2t-1)(2t-3)\cdots 1}{2t(2t-2)\cdots 2}\:(t\geq 1)$

$r=\dfrac{l}{1+\varepsilon\cos\theta}$

（$l > 0, \varepsilon\geq 0$ ）は二次曲線を表す。

二本の漸近線が直交するような双曲線を直角双曲線と言う。

二次曲線： $x^2-y^2=a$

$(a\neq 0)$ は直角双曲線である。

反比例： $xy=k$ も直角双曲線である。

1．原点を中心とする楕円は，
$Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$（$A > 0, C > 0, AC-B^2 > 0$）
という方程式で表せる。

2．逆に，上記の方程式は原点を中心とする楕円を表す。

定理：楕円の焦点から出た光は，反射してから反対側の焦点を通る。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $P(x_0,y_0)$ における接線の方程式は，

$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$