二次曲線

楕円の面積 $S$ は，

円周率×長半径×短半径

で計算できる。つまり，$S=\pi ab$

• パターン1．双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の漸近線は $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

• パターン2．双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ の漸近線も $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $P(x_0,y_0)$ における接線の方程式は，

$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$

点 $F$ からの距離と直線 $l$ からの距離の比が一定である点 $P$ の軌跡は二次曲線になる。この比のことを離心率と呼ぶ。

2点からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線と言う。また，この2点のことを焦点と言う。

2点からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円と言う。また，この2点のことを焦点という。

楕円の端を結ぶ直線のうち，長いものを 長軸，短いものを 短軸 という。

• 平面が母線より緩いとき楕円
• 平面が母線より急なとき双曲線
• 平面が母線と平行なとき放物線

パラボラアンテナの対称軸に対して平行に入射した信号は「焦点に」「同時に」届く。

二次曲線に対して，二本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。これを二次曲線の準円と言う。

1. 原点を中心とする楕円は，
   $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$
   ただし $A > 0, C > 0, AC-B^2 > 0$
   という方程式で表せる。

2. 逆に，上記の方程式は原点を中心とする楕円を表す。

楕円の焦点から出た光は，反射してから反対側の焦点を通る。

• $E(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta$
  のことを第二種楕円積分という。

• $F(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta$
  のことを第一種楕円積分という。

レムニスケート曲線とは，極方程式 $r^2 = a^2\cos 2\theta$ で表される曲線である。

しばしば連珠形ということもある。

長軸の長さが $2a$，短軸の長さが $2b$ である楕円： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の周の長さは， $$L=2\pi a\left(\displaystyle\sum_{t=0}^{\infty} c_t^2\dfrac{\epsilon^{2t}}{1-2t}\right)$$

ただし，$\epsilon$ は離心率で，$\epsilon^2=1-\dfrac{b^2}{a^2}$ を満たし，

$$\begin{aligned} c_0 &= 1\\ c_t &= \dfrac{(2t-1)!!}{(2t)!!}\\ &= \dfrac{(2t-1)(2t-3)\cdots 1}{2t(2t-2)\cdots 2}\:(t\geq 1) \end{aligned}$$