離心率の意味と関連する計算

更新 2021/10/11

離心率とは

点 $F$ からの距離と直線 $l$ からの距離の比が一定である点 $P$ の軌跡は二次曲線になる。この比のことを離心率と呼ぶ。離心率とは

離心率と二次曲線

点 $F$ からの距離と直線 $l$ からの距離の比が $\varepsilon$ である点 $P$ の軌跡を考えます。この軌跡について， $\varepsilon$ を離心率， $F$ を焦点， $l$ を準線と言います。

離心率 $\varepsilon$ が大きいと，焦点までの距離 $PF$ が長いので，離心率は「中心（焦点）から離れる比率」と言えますね。

まずは，点 $P$ の軌跡がどうなるのか，結果を述べます。

定理

点 $F$ からの距離と直線 $l$ からの距離の比が $\varepsilon$ である点の軌跡は二次曲線になる。特に，

$0<\varepsilon<1$ のとき楕円
$\varepsilon=1$ のとき放物線
$1<\varepsilon$ のとき双曲線

楕円・放物線・双曲線それぞれについて確認していきましょう。

離心率が1未満の場合：楕円

離心率 $\varepsilon$ が1未満の場合，楕円になることを確認してみます。楕円の場合さえ理解できれば，放物線や双曲線もほぼ同様です。

楕円になることの確認

$l$ の方程式を $x=0$ ， $F$ の座標を $(c,0)$ とする。楕円の離心率

$P(x,y)$ から $l$ におろした垂線の足 $H$ の座標は $(0,y)$ なので，

$\dfrac{PF^2}{PH^2}=\dfrac{(x-c)^2+y^2}{x^2}$

これが $\varepsilon^2$ と等しい条件は，

$(x-c)^2+y^2=\varepsilon^2x^2$

$(1-\varepsilon^2)x^2-2cx+c^2+y^2=0$

$(1-\varepsilon^2)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2-\dfrac{c^2}{(1-\varepsilon^2)}+y^2+c^2=0$

$(1-\varepsilon^2)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2+y^2=\dfrac{c^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}$

これは楕円の方程式を表す（→注）。

注： $A(x-x_0)^2+B(y-y_0)^2=C$ という方程式は， $A,B,C>0$ のとき，中心が $(x_0,y_0)$ である楕円を表します。

標準形の楕円の焦点・準線・離心率

次に，標準形の楕円から，焦点・準線・離心率を計算する公式です。長半径 $a$ と短半径 $b$ から計算できます。

楕円の離心率などを求める公式

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\:(a>b>0)$

において，焦点（の1つ）は $(\sqrt{a^2-b^2},0)$ ，準線（の1つ）は $x=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ ，離心率は $\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

楕円の準線と焦点

さきほどの計算結果から導出することもできますが，ここでは直接 $\dfrac{PF}{PH}=\varepsilon$ を確認してみます。

証明

楕円上の点は，媒介変数 $\theta$ を用いて $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とおける。このとき，

$F(\sqrt{a^2-b^2},0)$
$H$ は $P$ から $x=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ におろした垂線の足

とする。 $PF^2,PH^2$ を計算する（その際 $\sin\theta$ は $\cos\theta$ に直す）と，

$PF^2\\ =(a\cos\theta-\sqrt{a^2-b^2})^2+(b\sin\theta)^2\\ =a^2\cos^2\theta-2a\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta+(a^2-b^2)+b^2(1-\cos^2\theta)\\ =(a^2-b^2)\cos^2\theta-2a\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta+a^2$

$PH^2\\ =\left(\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}-a\cos\theta\right)^2\\ =a^2\cos^2\theta-\dfrac{2a^3}{\sqrt{a^2-b^2}}\cos\theta+\dfrac{a^4}{a^2-b^2}$

よって， $\dfrac{PF^2}{PH^2 }=\dfrac{a^2-b^2}{a^2}$ となった（ $\theta$ によらない！）

ちなみに，焦点・準線のペアはもう1つあります。もう1つのペアは，焦点は $-(\sqrt{a^2-b^2},0)$ ，準線は $x=-\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ です。

2つのペアを合わせて焦点は $(\pm\sqrt{a^2-b^2},0)$ ，準線は $x=\pm\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ ，離心率は $\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ と書けます。

離心率が1の場合：放物線

離心率が1の場合，つまり $PF=PH$ の場合，軌跡は放物線になります。

放物線になることの確認

楕円の場合と全く同様に，軌跡の方程式が

$2cx+c^2+y^2=0$

になることがわかる。これは放物線を表す。

放物線の準線と焦点については放物線の準線・焦点と一般化でより詳しく解説しています。

離心率が1より大きい場合：双曲線

離心率 $\varepsilon$ が1より大きい場合，双曲線になることを確認してみます。

双曲線になることの確認

楕円の場合と全く同様に，軌跡の方程式が

$(1-\varepsilon^2)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2+y^2=\dfrac{c^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}$

つまり

$(\varepsilon^2-1)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2-y^2=\dfrac{c^2\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1}$

になることがわかる。これは双曲線の方程式を表す（→注）。

注： $A(x-x_0)^2+B(y-y_0)^2=C$ という方程式は， $A,C>0$ かつ $B<0$ のとき，双曲線を表します。

双曲線の楕円の焦点・準線・離心率

次に，標準形の双曲線から，焦点・準線・離心率を計算する公式です。

双曲線の離心率などを求める公式

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

において，焦点（の1つ）は $(\sqrt{a^2+b^2},0)$ ，準線（の1つ）は $x=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，離心率は $\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$

楕円の場合と同様に，

媒介変数表示 $P\left(\dfrac{a}{\cos\theta},b\tan\theta\right)$ を使うと， $\dfrac{PF}{PH}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ が確認できます。
焦点と準線はもう1ペアあり，2つのペアを合わせて焦点は $(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)$ ，準線は $x=\pm\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，離心率は $\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ と書けます。