離心率の意味と関連する計算

$l$ の方程式を $x=0$，$F$ の座標を $(c,0)$ とする。

$P(x,y)$ から $l$ におろした垂線の足 $H$ の座標は $(0,y)$ なので，

$$\dfrac{PF^2}{PH^2}=\dfrac{(x-c)^2+y^2}{x^2}$$

これが $\varepsilon^2$ と等しい条件は，

$$(x-c)^2+y^2=\varepsilon^2x^2$$

である。式変形をすると

$$(1-\varepsilon^2)x^2-2cx+c^2+y^2=0$$

$$(1-\varepsilon^2)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2-\dfrac{c^2}{(1-\varepsilon^2)}+y^2+c^2=0$$

$$(1-\varepsilon^2)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2+y^2=\dfrac{c^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}$$

これは楕円の方程式を表す（→注）。

楕円上の点は，媒介変数 $\theta$ を用いて $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とおける。このとき，

• $F(\sqrt{a^2-b^2},0)$
• $H$ は $P$ から $x=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ におろした垂線の足

とする。$PF^2,PH^2$ を計算する（その際 $\sin\theta$ は $\cos\theta$ に直す）と，

$$\begin{aligned} &PF^2\\ &=(a\cos\theta-\sqrt{a^2-b^2})^2+(b\sin\theta)^2\\ &=a^2\cos^2\theta-2a\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta+(a^2-b^2)+b^2(1-\cos^2\theta)\\ &=(a^2-b^2)\cos^2\theta-2a\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta+a^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &PH^2\\ &=\left(\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}-a\cos\theta\right)^2\\ &=a^2\cos^2\theta-\dfrac{2a^3}{\sqrt{a^2-b^2}}\cos\theta+\dfrac{a^4}{a^2-b^2} \end{aligned}$$

よって，$\dfrac{PF^2}{PH^2 }=\dfrac{a^2-b^2}{a^2}$ となった（$\theta$ によらない！）

楕円の場合と全く同様に，軌跡の方程式が

$$2cx+c^2+y^2=0$$

になることがわかる。これは放物線を表す。

楕円の場合と全く同様に，軌跡の方程式が

$$(1-\varepsilon^2)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2+y^2=\dfrac{c^2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}$$

つまり

$$(\varepsilon^2-1)\left(x-\dfrac{c}{1-\varepsilon^2}\right)^2-y^2=\dfrac{c^2\varepsilon^2}{\varepsilon^2-1}$$

になることがわかる。これは双曲線の方程式を表す（→注）。