直角双曲線の方程式と性質

更新 2021/03/07

二本の漸近線が直交するような双曲線を，直角双曲線と言う。

二次曲線： $x^2-y^2=a\:(a\neq 0)$ は直角双曲線である。
反比例： $xy=k$ も直角双曲線である。

直角双曲線とそのグラフ

x2−y2=ax^2-y^2=ax2−y2=a の漸近線は x=±yx=\pm yx=±y となり，確かに直交しています。→双曲線の漸近線の簡単な求め方と証明
a>0a > 0a>0 のとき，グラフは図の赤線。焦点の座標は (±2a,0)(\pm\sqrt{2a},0)(±2a​,0)
a<0a <0a<0 のとき，グラフは図の青線。焦点の座標は (0,±2∣a∣)(0,\pm\sqrt{2|a|})(0,±2∣a∣​)
私は「歪んでいない楕円は円，歪んでいない双曲線は直角双曲線」というイメージを持っています。

反比例も直角双曲線

中学数学で習う反比例のグラフ
y=kxy=\dfrac{k}{x}y=xk​
 も直角双曲線です。x2−y2=ax^2-y^2=ax2−y2=a
 というタイプの直角双曲線を
45∘45^{\circ}45∘
 回転させると反比例のグラフになるからです（後できちんと証明します）。
顔を
45∘45^{\circ}45∘
 傾けて冒頭の図を眺めてみると反比例が見えてきます。
実際，反比例のグラフは
x=0x=0x=0
 と
y=0y=0y=0
 という二本の漸近線を持ち，それらは直交しています。
（二本の漸近線が直交するという性質は直角双曲線であるための必要条件）

直角双曲線の回転

$x^2-y^2=a$ を原点回りに $\theta$ だけ回転させたグラフの方程式は， $x^2\cos 2\theta+2xy\sin 2\theta-y^2\cos 2\theta=a$

回転行列を使って証明します。→一次変換の意味と重要な5つの例（折り返し・回転・対称移動）

証明

求めるグラフ上に点 $(X,Y)$ がある

$\iff (X,Y)$ を $-\theta$ 回転させると $x^2-y^2=a$ 上にある(*)

ここで， $(X,Y)$ を $-\theta$ 回転させた点の座標は，回転行列をかけることにより

$(X\cos\theta+Y\sin\theta,-X\sin\theta+Y\cos\theta)$ となる。

よって，(*)

$\iff (X\cos\theta+Y\sin\theta)^2-(-X\sin\theta,Y\cos\theta)^2=a$

これを整理すると，

$X^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+Y^2(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\\ +4XY\cos\theta\sin\theta=a$

さらに，倍角の公式を使うと

$X^2\cos 2\theta+2XY\sin 2\theta-Y^2\cos 2\theta=a$

$\theta=0^{\circ}$ とすると $x^2-y^2=a$ となり，もとの方程式と一致する（当然）。
$\theta=45^{\circ}$ とすると $2xy=a$ という反比例のグラフになる。
$\theta=90^{\circ}$ とすると， $-x^2+y^2=a$ となる。
一般に， $x^2-y^2=a$ を回転させても $x^2$ と $y^2$ の係数は互いにマイナス1倍という関係を保っている。

直角双曲線を2つ書くと手裏剣みたいになりました（冒頭の図）。

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！